Enunciado

Um contêiner cilíndrico, semelhante ao analisado no Exemplo 3.10 (no site da LTC Editora), é girado a uma velocidade angular constante de 2 Hz em torno do seu eixo. O cilindro tem 0,5 m de diâmetro e inicialmente contém água com profundidade de 0,3 m. Determine a altura da superfície livre do líquido ao centro do contêiner. A sua resposta depende da massa específica do líquido? Explique.

Passo 1

A questão descreve um recipiente cilíndrico girando, vamos encontrar a altura da superfície livre na entrada e dizer se a solução depende de ρ . Portanto, aplicaremos as equações hidrostáticas neste sistema, que são:

- ∇ p + ρ g → = ρ a →

Importante lembrar que esse gradiente de pressão é o negativo da força de superfície por unidade de volume devido à pressão. Na mecânica dos fluidos, percebemos muito que o nível de pressão não é importante na avaliação da força resultante da pressão. O que importa é a taxa de variação da pressão com a distância, o gradiente de pressão.

Passo 2

Consideramos o fluido incompressível e que a pressão atmosférica atua em todos os lugares. Para obter a solução, precisamos de uma expressão em termos de ω , r e h o .

A expressão foi derivada no Exemplo 3.10:

z = h 0 - ω R 2 2 g 1 2 - r R 2

Sabemos que a velocidade angular ω está relacionada à frequência de rotação através de:

ω = 2 π f

Logo,

ω = 2 π × 2 r a d s = 12,57 r a d s

Agora, já que h 1 é o valor z que corresponde a r   =   0 , substituímos na expressão e obtemos:

h 1 = h 0 - ω R 2 4 g

Substituimos os valores,

h 1 = 0,3   m - 12,57 r a d s × 0,25   m 2 4 × 9,81 m s 2

h 1 = 0,05   m

Assim, a altura independe da massa especifica.

Resposta

A altura independe da massa especifica.

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