Enunciado

5.37 Exemplo 5.6 mostrou que o campo de velocidade para um vórtice livre no plano r θ é V → = e ^ θ C / r . Determine a função de corrente para este escoamento. Avalie a vazão em volume por unidade de profundidade entre r 1 = 0,20   m e r 2 = 0,24   m , se C = 0,3   m 2 / s . Esboce o perfil de velocidade ao longo de uma linha de θ constante. Confira a vazão calculada a partir da função de corrente, integrando o perfil de velocidade ao longo dessa linha.

Passo 1

Usando a definição de função de corrente:

V θ = - ∂ ψ ∂ r

Como V θ = r ω ,

r ω = - ∂ ψ ∂ r

Separando as variáveis e integrando:

d ψ = - C r   d r

∫ d ψ = - C ∫ 1 r   d r

ψ = - C ln ⁡ r + K

Onde C é constante em relação a θ .

Passo 2

A vazão entre r 1 = 0 , 20   m e r 2 = 0 , 24   m pode ser calculada como:

Q = ψ r 2 - ψ r 1

Q = - C ln ⁡ 0,24 - - C ln ⁡ 0,20

Q = C ln ⁡ 0,20 - ln ⁡ 0,24

Com C = 0,3   m 2 / s ,

Q = 0,3 ln ⁡ 0,20 - ln ⁡ 0,24

Q = - 0,0547 m 3 s   m

Passo 3

Integrando o perfil de velocidade:

Q = ∫ r 1 r 2 V θ d r  

Q = ∫ r 1 r 2 C r d r

Q = C ln ⁡ r r 1 r 2

Q = 0,0547 m 3 s   m

Resposta

ψ = - C ln ⁡ r + K

Q = - 0,0547 m 3 s   m

Q = 0,0547 m 3 s   m

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