Enunciado

Ao contrário do que se possa esperar, uma esfera de aço sólida pode flutuar na água devido ao efeito da tensão superficial. Determine o diâmetro máximo de uma esfera de aço que flutuaria em água a 20   ° C . Qual seria sua resposta para uma esfera de alumínio? Suponha que as densidades das esferas de aço e de alumínio sejam, respectivamente, 7800   k g / m 3 e 2700   k g / m 3 .

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule o diâmetro máximo D que uma esfera pode ter para flutuar. O enunciado também diz que a esfera é sustentada pelo efeito da tensão superficial. Ou seja, a força gerada pela tensão superficial F s equilibra o peso P da esfera para ela não afundar e ficar parada boiando. Por conta disso, essas duas forças opostas devem ser iguais.

F s = P

Além disso, para a esfera ter o maior diâmetro possível, é necessário que a força F s da tensão superficial σ s dê o máximo de sustentação à esfera! Para isso, o ângulo de contato ϕ entre a superfície da esfera e a superfície da água deve ter 0 ° . Dessa forma, a força F s fica vertical para cima. A ága precisa estar em contato com o meio da esfera para ter um maior comprimento de contato. A figura abaixo mostra isso!

onde m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Para calcular quanto vale a força F s , temos que lembrar que a tensão superficial é a força superficial F s dividida pelo comprimento L de contato entre a superfície líquida e a superfície sólida. Além disso, temos que lembrar que esse comprimento L precisa ser igual ao perímetro π ⋅ D da esfera.

σ s = F s L       ⟹       σ s = F s π ⋅ D       ⟹       F s = σ s ⋅ π ⋅ D

O peso P da esfera é a multiplicação entre o volume V da esfera, a densidade ρ da esfera e a aceleração da gravidade g .

P = ρ ⋅ V ⋅ g

Substituindo essas fórmulas na equação das forças, encontramos:

σ s ⋅ π ⋅ D = ρ ⋅ V ⋅ g         ⟹       σ s ⋅ π ⋅ D = ρ ⋅ 1 6 ⋅ π ⋅ D 3 ⋅ g       ⟹       D = σ s ⋅ 6 ρ ⋅ g

Passo 3

A tensão superficial σ s da água a 20   ° C se encontra na tabela 2 - 4 do livro.

σ s = 0,073 N m

No próximo passo nós vamos iniciar as contas.

Passo 4

Se a esfera for de aço, D é igual a:

D a ç o = σ s ⋅ 6 ρ a ç o ⋅ g       ⟹       D a ç o = 0,073 ⋅ 6 7800 ⋅ 9,81       ⟹       D a ç o = 0 , 0024   m

Se a esfera for de alumínio, D é igual a:

D a l u m í n i o = σ s ⋅ 6 ρ a l u m í n i o ⋅ g       ⟹       D a l u m í n i o = 0,073 ⋅ 6 2700 ⋅ 9,81

D a l u m í n i o = 0 , 0041   m

Resposta

D a ç o = 0 , 0024   m

D a l u m í n i o = 0 , 0041   m

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