Enunciado

Em coordenadas esféricas polares, como na Figura P4.12, o escoamento é chamado de escoamento com simetria axial se v θ ≡ 0   e   ∂ ∂ θ ≡ 0 , de forma que v r = v r r ,   θ   e   v θ = v θ r , θ . Mostre que para esse caso existe 7 uma função corrente ψ ( r ,   θ ) e ela é dada por

v r = 1 r 2 s e n θ ∂ ψ ∂ θ           v θ = 1 r s e n θ ∂ ψ ∂ r

Passo 1

Bora pra mais uma!

Do problema P4.12 com v ϕ = 0 a equação da continuidade é:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r s e n θ ∂ ∂ θ v θ s e n θ = ∂ ∂ r r 2 v r s e n θ + ∂ ∂ θ r v θ s e n θ = 0  

Note que isto se compara com uma forma de função diferencial cruzada, como:

∂ ∂ r ∂ ψ ∂ θ + ∂ ∂ θ - ∂ ψ ∂ r = 0

Daí:

v r ( S t o k e s ) = 1 r 2 s e n θ ∂ ψ ∂ θ ;     v θ ( S t o k e s ) = - 1 r s e n θ ∂ ψ ∂ r .

Resposta

Conforme demonstrado:

v r = 1 r 2 s e n θ ∂ ψ ∂ θ ;     v θ = - 1 r s e n θ ∂ ψ ∂ r

Exercícios de Livros Relacionados

É dada a função de corrente Ψ = x 2 + 2 x y + 4 t 2 y . No instante t = 2   s , determinarQual é a vazão por unidade de espessura entre (A) e (B)Qual é a vazão por unidade de espes...
No estudo analítico de um furacão, admitiu-se que o escoamento resulte da superposição de um vórtice ideal com um sorvedouro no ponto O. Sendo a função potencial do sorvedouro ϕ = ...
Seja um meteorito que penetra na atmosfera. Admitir em primeira aproximação que o escoamento seja bidimensional e irrotacional na região próxima ao ponto de estagnação. Sabe-se que...
Num plano, o escoamento de um fluido é definido por: v x = v 0 x + a t ; v y = v 0 y   .   Determinar:As linhas de correnteAs trajetórias
As partículas de um fluido movem-se no plano x y com trajetórias definidas por x = x 0 + t ; y = y 0 + t 2 .Obter a equação e desenhar a trajetória da partícula que, no instante t=...
Imagine escoamento incompressível, permanente, bidimensional que é puramente radial no plano x y ou r θ . Em outras palavras, a componente de velocidade u r é diferente de zero, ma...
Repetir Problema 9–73, mas a partir de um quadro de referência que gira com as pás do agitador na velocidade angular ω .
Considere o escoamento representado pela função de corrente ψ = A x 2 y , em que A é uma constante dimensional igual a 2,5   m - 1 . s - 1 . A massa específica é 1200 kg/m³. O esco...
Determine se a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre raios diferentes para os campos de escoamento dos vórtices (a) V → = ω r e → θ e (b) V → = e → θ K / 2 π r .
Considere um escoamento bidimensional: u = a x + b y e v = c x + d y , em que a ,   b ,   c e d são constantes. Se o escoamento for incompressível e irrotacional, encontre a relaçã...
O campo de velocidade para um escoamento bidimensional é V → = A x - B y t i → - ( B x + A y ) j → , em que A = 1   s - 2 ,   B = 2   s - 2 ,   t é dado em segundos e as coordenada...
Um bloco desliza para baixo em uma parede longa, reta, inclinada, com a velocidade  V , sobre um filme fino de óleo de espessura  h  (Figura P9-113). O peso do bloco é  W , e sua á...