Enunciado

Um tanque com volume γ contém gás nas condições ( ρ 0 ,   p 0 ,   T 0 ) . No instante t = 0 , é feito nele um pequeno furo de área A. De acordo com a teoria do Capítulo 9, o escoamento em massa para fora por esse furo é aproximadamente proporcional a A e à pressão no tanque. Se a temperatura do tanque é considerada constante e o gás é ideal, encontre uma expressão para a variação de massa específica dentro do tanque.

Passo 1

E aí, qual vai ser? Essa questão temos que resolver! Então bora lá!

Vamos ter uma vazão mássica pra fora, não vamos?! Pô, bora usar isso ai então, teremos:

d d t m t a n q u e + m ˙ s a i n d o = 0

Essa vazão de saída ai, pelo enunciado, é aproximadamente proporcional a A e à pressão não é?! Bora usar isso também!

d d t ρ v = - m ˙ s a i n d o = - C p A

esse C é uma constante de proporcionalidade, bele?!

Estamos tratando um gás ideal, assim:

ρ = p R T 0

Basta agora a gente substituir isso na nossa equação diferencial e aplicar separação de variáveis, assim:

∫ ρ 0 ρ t d ρ ρ = - C R T 0 A v ∫ 0 t d t

Assim,

ρ = ρ 0 e - C R T 0 A t v

Resposta

ρ = ρ 0 e - C R T 0 A t v

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