Enunciado

O corpo uniforme A da Figura P2.95 tem largura b e está em equilíbrio estático quando pivotado sobre a articulação O. Qual é a densidade desse corpo se (a) h = 0 e (b) h = R?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos um corpo pivotado sobre a articulação O , do qual queremos encontrar a densidade d para duas situações diferentes: quando h = 0 ou h = R .

Vamos dar uma olhada na representação das forças agindo na figura abaixo:

Sendo W o peso do corpo de largura b , F H a componente horizontal da força hidrostática e F V a componente vertical da força hidrostática.

Nos próximos passos, iremos descobrir como calcular essas forças e como usá-las para calcular a densidade do corpo.

Então, vamo lá matar esse problema juntos!

Passo 2

Primeiro, iremos calcular a componente horizontal F H Não iremos considerar a parte superior do corpo, pois a água está agindo apenas na geometria de quarto de círculo.

Para calcular essa componente, iremos considerar a projeção vertical dessa geometria, ou seja, devemos considerar a ação dessa força num retângula de base b e altura R .

Dessa forma, iremos utilizar a seguinte equação:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Dessa forma teremos:

F H =   γ R 2 R b

Além disso, devemos calcular a linha de aplicação da componente horizontal da força em relação ao ponto O , que podemos chamar de l H . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:

l H = R - h C G + I x x s e n θ h C G A p r o j

Sendo: θ o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e I x x o momento de inércia para essa direção.

O momento de inércia I x x de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :

I x x = b L 3 12

Sendo: b a largura do retângulo e L a altura do retângulo, ou seja, R . Logo:

I x x = b L 3 12 = b R 3 12

Calculando então a linha de aplicação acima do ponto O , temos:

l H = R - R 2 + b R 3 12 s e n 90 ° R 2 R × b =   R - 2 3 R = R 3

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água, com a equação:

F V =   γ V á g u a

Sendo V á g u a o volume da água no corpo no formato de um quarto de círculo. Sendo assim, temos:

F V =   γ V á g u a = γ π R ² 4 × b = γ   π R ² 4 b  

Pra calcular a linha de aplicação `a esquerda de O para a componente vertical, basta ir novamente na página 92 e usar a mesma distância do centroide para um semi-círculo. Ou seja, a linha de aplicação l V pode ser calculada como:

l V = 4 R 3 π

Passo 4

Para calcular o peso do corpo, devemos dividir o corpo em duas geometrias: um paralelepípedo de lados R × h × b na parte superior e um quarto de círculo de raio R e largura b . Sendo assim, o peso pode ser calculado como.

Chamaremos esses duas contribuições de peso, respectivamente, como W R e W C :

W R = d γ R × h × b

W C = d γ π R ² 4 × b

Sendo d a densidade do sólido.

Agora, devemos estabelecer as linhas de aplicação dessas forças com relação ao ponto O . Para o retângulo, basicamente essa linha estará a R / 2   à esquerda de O . Para o peso no quarto de círculo, ela estará a 4 R / 3 π .

Passo 5

Por fim, precisamos calcular a densidade d   do corpo para as duas situações estabelecidas no enunciado. Para isso, devemos fazer um balanço de momento em torno de O , em sentido horário, com as forças que calculamos nos Passos anteriores.

Sabemos que, para o corpo estar fixo, esse balanço deve ser zero:

∑ M O = 0 = γ R 2 R b R 3 + γ   π R ² 4 b   4 R 3 π -   d γ R h b R 2 - d γ π R 2 4 b 4 R 3 π

Para h = 0 o balanço de momento se torna:

γ R 2 R b R 3 + γ   π R ² 4 b   4 R 3 π - d γ π R 2 4 b 4 R 3 π = 0

→ 1 6 + 1 3   - d 1 3 = 0

→ d = 3 2

Já para h = R o balanço se torna:

γ R 2 R b R 3 + γ   π R ² 4 b   4 R 3 π -   d γ R R b R 2 - d γ π R 2 4 b 4 R 3 π = 0

→ 1 6 + 1 3 - d 2 - d 3 = 0

→ - 5 d 6 = - 1 2

→ d = 3 5

Resposta

(a) A densidade desse corpo se h   =   0   é d = 3 2

(b) a densidade desse corpo se h   =   R é d = 3 5

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