Enunciado

As correntes oceânicas podem ser rastreadas por flutuadores Swallow [2], que receberam esse nome em homenagem ao Dr. John Swallow, do Reino Unido, que os projetou em 1955. Houve muitas alterações no projeto, mas o flutuador original era um tubo de alumínio, com 6 cm de diâmetro externo e aproximadamente 3 m de comprimento, selado em ambas as extremidades e levemente pressurizado. Os tubos tinham de ser corroídos para obter a espessura correta. Calcule a espessura do tubo para obter a flutuabilidade neutra na água do mar com massa específica de 1.030 kg/m3.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nessa problema, temos um cilindro de alumínio raio externo R e = 3   c m e 3   m de comprimento, preenchido com ar do lado interno, imerso na água do mar.

Pra mentalizar melhor o problema, dá uma olhadinha na figura abaixo:

O enunciado pede que a gente descubra a espessura do tubo para que ele obtenha flutuabilidade neutra.na água do mar, de massa específica ρ m a r =   1030 k g m 3 .

Pra resolver a questão, devemos lembrar que, para um corpo com flutuabilidade neutra, o empuxo será igual ao peso do corpo. No caso do nosso problema, o empuxo deve ser igual ao peso da casca cilíndrica de alumínio mais o peso do ar na parte interna do tubo:

E = W A l + W a r

Nos próximos passos, eu vou te ensinar como calcular os pesos e o empuxo, e também a como encontrar o raio interno R i e, a partir dele, achar a espessura do tubo.

Vem comigo pra resolver a questão!

Passo 2

Para calcular o empuxo, basta que a gente multiplique o peso específico do fluido, que aqui é a água do mar, pelo volume de fluido deslocado. Como estamos considerando a flutuabilidade neutra, o volume deslocado será igual ao volume externo do cilindro:

E = ρ m a r g ( π × R e 2 × L )

Sendo: g = 9,81   m / s ² a aceleração da gravidade; e L = 3   m o comprimento do cilindro.

Da mesma forma, o peso da casca cilíndrica do alumínio pode ser calculado como:

W A l = ρ A l g ( π × R e 2 - R i 2 × L )

Sendo: ρ A l = 2700   k g / m ³ a massa específica do alumínio a temperatura ambiente; e ( π × R e 2 - R i 2 × L ) a área da região anular do tubo.

E, ainda, a gente pode definir a força peso do ar dentro da parte interna do cilindro como:

W a r = ρ a r g π × R i 2 × L

Sendo ρ a r a massa específica do ar. O enunciado do problema não afirma qual a densidade do ar, mas afirma que ele está levemente pressurizado. Dessa forma, consideramos ρ a r = 1,5   k g / m 3 .

Substituindo essas três relações na equação que definimos no Passo 1, teremos:

ρ m a r g π × R e 2 × L = ρ A l g π × R e 2 - R i 2 × L +   ρ a r g π × R i 2 × L

Notem que L , g e π podem ser cortados, pois se repetem em todos os termos:

ρ m a r π R e 2 = ρ A l R e 2 - R i 2 +   ρ a r R i 2

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamo substituir todas as grandezas que conhecemos na equação definida no fim do Passo 2:

1030   k g / m ³ 0,03   m ² = 2700   k g / m ³ 0,03   m ² - R i 2 + ( 1,5   k g / m 3 ) R i 2

0,927 k g m = 2,43 k g m   - ( 2700 k g m 3 ) R i 2 + ( 1,5 k g m 3 ) R i 2

2698,5   k g m 3 R i 2 = 1,503 k g m  

R i 2 =   0,000557   m ²

R i =   0,0236   m

Ou seja, a espessura do tubo é R e - R i = 0,0064   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A espessura do tubo é R e - R i = 0,0064   m

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