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Uma estrutura de vidro deve ser instalada em um canto inferior de um aquário para servir como observatório marinho. O aquário está cheio com água do mar até uma profundidade de 10 m. O vidro é um segmento de esfera, com raio 1,5 m, montado simetricamente em uma quina, no fundo do aquário. Calcule o módulo e o sentido da força líquida da água sobre a estrutura de vidro.

Passo 1

Nessa questão temos uma estrutura de vidro e devemos encontrar a força e a direção resultantes. Para isso, vamos considerar que a agua no aquário é estática e incompressível.

Bom, devemos ter em mente as seguintes questões:

  1. Os componentes x , y e z da força devidos ao fluido são tratados separadamente.

Para os componentes x e y , a força horizontal é equivalente à em uma placa plana vertical; para o componente z , (força vertical), a força é equivalente ao peso do fluido acima.

Para forças horizontais, podemos usar uma a equação computacional da Seção 3-5 F H = p c A , onde A é a área da placa vertical equivalente.

Já na força vertical, usamos F V =   ρ g V , em que V é o volume de fluido acima da superfície curva.

Passo 2

Para começarmos a responder, temos que os dados para a água são:

ρ = 999 k g m 3

S G = 1,025

R = 1,5   m                 H = 10   m

Analisando a força horizontal, considereamos a componente x . O centro de pressão do vidro é:

y c = H - 4 R 3 π = 10 - 4 R 3 π = 9,36 m

Consequentemente:

F H x = p c A = S G   ρ   g   y c π R 2 4

F H x = 1,025 × 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 ×   9,36 m π ( 1,5   m ) 2 4 = 16,6 × 10 4 N

A componente y possui a mesma magnitude da componente x , logo

F H x = F H y

Assim, o resultado da força horizontal é: (fazemos o teorema de Pitágoras)

F H = F H x 2 + F H y 2 = 23,48 × 10 4 N

Passo 3

A força vertical é igual ao peso do fluido acima (um volume definido por uma coluna retangular menos um segmento de uma esfera). Logo, o volume é:

V = π R 2 4 H - 4 π R 3 3 8 = π 1,5   m 2 4 × 10   m - 4 π 1,5   m 3 3 8 = 15,9

Consequentemente:

F V =   S G ρ g V

F V =   1,025 × 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × 15,9 = 15,97 × 10 4 N

Por fim, o resultado da força é

F = F H 2 + F V 2 = 28,4 × 10 4 N

Resposta

F = 28,4 × 10 4 N

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