Enunciado

Em uma operação de extração de madeira, a tora de madeira flutua rio abaixo em direção a uma serraria. É um ano seco e o leito do rio está tão baixo que, em alguns locais, a profundidade é de 60   c m . Qual é o maior diâmetro de tora que pode ser transportado

dessa forma (partindo de uma distância mínima de 5   c m entre a tora e o fundo do rio e considerando que a madeira tem S G   = 0,8 )?

Passo 1

Nesse problema temos uma situação em um rio, onde devemos encontrar o maior diâmetro de tora que será transportado.

Utilizamos as seguintes equações:

F e m p u x o = ρ g V , força de empuxo

∑ F y = 0 , somatório de forças no sentido de y

Passo 2

Pelo diagrama de corpo livre, temos a seguinte analise de forças:

F B - W = 0

Onde:

F B = ρ g V s u b = ρ g A s u b L

W = S G ρ g V = S G ρ g A L

Em alguns problemas pode ser pedido a área da parte submersa, portanto, para isso podemos encontrar em livros a seguinte relação:

A = R 2 2 ( θ - sin ⁡ θ )

onde R é o raio e θ é o ângulo incluído.

Portanto, obtemos

ρ g R 2 2 θ - sin ⁡ θ L = S G ρ g π R 2 L

Eliminando termos semelhantes,

θ - sin ⁡ θ = 2 S G π = 2 × 0,8 × π

Usando uma calculadora, temos que

θ = 239 °

Da geometria, a quantidade submersa de uma tora é H - h e também R + R cos ⁡ π - θ 2 . Relacionando as duas equações:

H - h = R + R cos ⁡ π - θ 2

Isolando o R ,

R = H - h 1 + cos ⁡ ( 180 ° - θ 2 ) = 0,60 - 0,05 1 + cos ⁡ 180 - 239 2 ° = 0,369 m

Como o diâmetro é D = 2 R , temos

D = 0,737   m

Resposta

D = 0,737   m

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