Enunciado

Uma melancia inicialmente a 35   ° C deve ser resfriada em um lago a 15   ° C . Após 4   h o r a s e 40   m i n u t o s de resfriamento, a temperatura no centro da melancia é medida a 20   ° C . Considerando a melancia como uma esfera de 20   c m de diâmetro e utilizando as propriedades k = 0,618   W / ( m . K ) , α = 1,6 . 10 - 6   m 2 / s , ρ = 995   k g / m 3 e c P = 4,18   k J / ( k g . K ) , determine o coeficiente médio de transferência de calor e a temperatura da superfície da melancia no final do período de resfriamento.

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil, confio em vocês! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • A melancia é um objeto esférico homogêneo.
  • A condução de calor na melancia é unidimensional por causa da simetria sobre o ponto médio que fica no centro.
  • As propriedades térmicas da melancia são constantes. Isso quer dizer que os valores de k = 0,618   W / ( m . K ) , α = 1,6 . 10 - 6   m 2 / s , ρ = 995   k g / m 3 e c P = 4,18   k J / ( k g . K ) , são constantes.
  • O coeficiente médio de transferência de calor h é constante e uniforme em toda a superfície.

Passo 2

Ufa, quantas hipóteses! Agora vamos para a análise do problema, galera! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determinar o coeficiente médio de transferência de calor h ;
  2. Determinar a temperatura da superfície da melancia no final do período de resfriamento.

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Vamos começar resolvendo pela parte 1 da questão! Precisamos saber se o número de Fourier τ > 0,2 . Por quê? Pois se o valor atender essa condição, a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para a melancia! Portanto, para uma esfera, o número de Fourier é dado por:

τ =   α . t r 0 2

Do enunciado, temos que a difusividade térmica é α = 1,6 . 10 - 6   m 2 / s , o período de tempo é t = 4   h o r a s   e   40   m i n u t o s = 280   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 16800   s e o raio da melancia é r 0 = D 2 = 20   c m 2 = 10   c m . 1   m 100   c m = 0,1   m . Portanto:

τ =   α . t r 0 2 =   1,6 . 10 - 6   .   16800 0,1 2

τ = 0,252

Como τ = 0,252   > 0,2 a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para a melancia!

Passo 4

A aproximação de termo único para uma esfera é expressa analiticamente como:

θ E s f e r a r ,   t = T r ,   t -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0

Minha nossa, apareceram mais duas variáveis! O que eu faço agora?! Não se desespere, as constantes A 1 e λ 1 são funções somente do número de Biot e seus valores estão listados na tabela 4-2. Portanto, basta calcularmos o número de Biot para a esfera!

B i = h . r 0 k = h . 0,1 0,618

Poxa vida, não consigo calcular o número de Biot porque preciso o coeficiente médio de transferência de calor h ... Como vou resolver agora?

Passo 5

Vamos analisar com calma! Sabemos que r = 0 e que após t = 16800   s de resfriamento, a temperatura no centro da melancia é T r ,   t =   T 0 ,   16800 = 20   ° C . Sabemos também que T ∞ = 15   ° C e que T i = 35   ° C . Assim, a aproximação de termo único se torna:

θ E s f e r a r ,   t = T r ,   t -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0

No centro da esfera, podemos fazer a aproximação de que s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0 = 1 . Logo:

θ E s f e r a 0 ,   16800 = T 0 ,   16800 -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ

Portanto,

20 -   15 35 - 15 = A 1 . e - λ 1 2 . 0,252

0,25 = A 1 . e - λ 1 2 . 0,252

E agora? Só nos resta fazer tentativa e erro! Da tabela 4-2 para esfera temos que para satisfazer essa equação valor do número de Biot deve ser B i = 10 ! Para essa condição os valores das constantes são A 1 = 1,9249 e λ 1 = 2,8363 .

Passo 6

Agora que sabemos o número de Biot, podemos determinar o coeficiente médio de transferência de calor h ! Retomando a equação de antes:

B i = h . r 0 k = h . 0,1 0,618

h = 0,618 . 10 0,1

h = 61,8   W / ( m 2 . ° C )

Finalmente conseguimos a primeira resposta, galera! Mandaram muito bem!

Passo 7

Agora vamos para a letra (b) da questão! Vem comigo que falta pouco! A temperatura na superfície da melancia no final do período de resfriamento nada mais é que a temperatura em r = r 0 ! Agora ficou fácil né, pessoal?! Portanto:

θ E s f e r a r ,   t = T r ,   t -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r r 0 λ 1 . r r 0

θ E s f e r a r 0 ,   16800 = T r 0 ,   16800 -   T ∞ T i   -   T ∞ = A 1 . e - λ 1 2 . τ . s e n ⁡ λ 1 . r 0 r 0 λ 1 . r 0 r 0

Portanto,

T r 0 ,   16800 -   15 35 - 15 = 1,9249 . e - 2,8363 2 . τ . s e n ⁡ 2,8363 2,8363

Não se esqueçam que o valor de s e n ⁡ 2,8363 está sendo dado em r a d ! Portanto:

T r 0 ,   16800 = 15,5   ° C

Resposta

Após todos esses passos, temos que o coeficiente médio de transferência de calor é h = 61,8   W / ( m 2 . ° C ) e que a temperatura da superfície da melancia no final do período de resfriamento é T r 0 ,   16800 = 15,5   ° C .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em climas desérticos, a chuva não é ocorrência comum, uma vez que as gotículas de chuva formadas na camada superior da atmosfera, muitas vezes, evaporam antes de chegar ao chão. Considere um pingo de
Considere um pedaço cilíndrico de carne de cordeiro ρ = 1030 k g m 3 ,c p = 3,49 k J k g K ,k = 0,456 W m Keα = 1,3 × 10 - 7 m 2 s de 7,6 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro. Quinze pedaços de carne
Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperaturas no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função T x , y , z = x 2 - 2 y 2 + z 2 - x y + 2 y z Considerando propriedades const
Uma panela é usada para ferver água. Ela é colocada sobre um fogão, a partir do qual calor é transferido a uma taxa fixaq o . Há dois estágios no processo. No Estágio 1, a água é levada de sua tempera