Enunciado

Os dados na Figura P7.108 referem-se a sustentação e arrasto de uma esfera girante da Referência 45. Admita que uma bola de tênis (P = 0,56 N, D = 6,35 cm) seja golpeada ao nível de mar com velocidade inicial V0 = 30 m/s, com efeito topspin (frente da bola girando para baixo) de 120 rps. Se a altura inicial da bola for 1,5 m, calcule a distância horizontal percorrida antes que ela atinja o solo.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos uma bola girando a uma velocidade angular de ω = 120   r p s = 754 r a d s . Ela parte de uma altura inicial de 1,5   m a uma velocidade V 0 = 30   m / s . A bola tem peso P = 0,56   N e diâmetro D = 0,065   m .

Vamos considerar que essa bola descreve uma seção circular de ângulo θ   e raio r , que pode ser enxergada no esquema abaixo que fizemos pra te orientar:

Sendo V m é d a velocidade média da bola indo de t = 0 até o momento que ela cai no chão.

O enunciado nos pede pra calcular a distância horizontal percorrida por essa bola, e pra isso nós vamos usar suas forças de arrasto e sustentação.

Antes de irmos para os próximos passos, temos que lembrar que as propriedades do ar a temperatura ambiente são ρ = 1,2   k g / m ³ e μ = 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s .

Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Pra resolver o problema, devemos ir na Figura P7.108 pra calcular os coeficientes de arrasto C A e sustentação C S pra bola em movimento.

Pra isso, vamos calcular o valor pro termo de entrada ω R / V :

ω R V = 754 r a d s 0,03175   m 30   m / s ≈ 0,80  

Agora entramos com esse valor no gráfico da Figura P7.108:

Dessa maneira, encontramos um coeficiente de arrasto e outro de sustentação de, respectivamente, C A = 0,6 e C S = 0,15 .

Vamos então calcular as forças de arrasto F A e de sustentação F S com base na velocidade inicial V 0 :

F A = C A ρ 2 V 0 2 π 4 D 2 = 0,6 1,2 k g m 3 2 30   m / s 2 π 4 0,065   m 2 = 1,075   N

F S = C S ρ 2 V 0 2 π 4 D 2 = 0,15 1,2 k g m 3 2 30   m / s 2 π 4 0,065   m 2 = 0,269   N

Passo 3

Agora, vamos calcular as desacelerações horizontal e vertical dessa bola.

A desaceleração horizontal a x será basicamente dada pela força de arrasto, a que age na direção horizontal:

a x =   - F A P g = - 1,075   N 0,56   N 9,81 m s 2 = - 18,8   m / s ²

Já a desaceleração vertical a y , causada pela força de sustentação, também levará em conta a gravidade agindo no sistema:

a y =   - g - F A P g = - 9,81 m s 2 - 0,269   N 0,56   N 9,81 m s 2 = - 14,5   m / s ²

Passo 4

Nesse passo, vamos finalizar a questão.

Vamos usar a x pra calcular a velocidade na qual a bola toca o chão, que ocorre a aproximadamente t = 0,5   s . Sendo assim, sua velocidade final é aproximadamente de 20,6   m / s .

Portanto, nossa velocidade média será V m é d = 30 m s + 20,6 m s 2 = 25,3   m / s . Com ela e com aceleração vertical a y podemos encontrar o raio r da seção circular percorrida pela bola:

V m é d 2 r = a y → r = 25,3   m / s ² 14,5   m / s ² = 44   m

Agora dê uma olhada na figura exposta no Passo 1. Pra achar o ângulo θ da seção circular, basta usar R fazendo uma simples relação trigonométrica:

cos ⁡ θ = r - 1,5 r → θ = cos - 1 ⁡ 44 - 1,5 44 ≈ 15 °

E uma relação trigonométrica similar pode ser usada pra encontrar a distância horizontal ∆ x :

∆ x = r sen ⁡ θ = 44   m sen ⁡ 15 ° = 11,39   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A distância horizontal percorrida antes que a bola atinja o solo é ∆ x = 11,39   m

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