Enunciado

A densidade da água do mar em uma superfície livre onde a pressão é de 98 kPa é aproximadamente 1030 kg/m³. Considerando que o módulo de elasticidade da água em grande massa seja 2,34 X 109 N/m² e expressando a variação da pressão com a profundidade z como d P = ρ g   d z , determine a densidade e a pressão a uma profundidade de 2500 m. Despreze o efeito da temperatura.

Passo 1

Vamos partir do coeficiente de compressibilidade

k = ρ ∂ P ∂ ρ T = ρ d P d ρ   ( p a r a   T   c o n s t a n t e )

Passo 2

A gente tem que a pressão de forma diferencial para uma dada coluna de fluido é dada por:

d P = ρ g d Z

Combinando as duas equações:

k = ρ ρ g d Z d ρ = g ρ 2 d Z d ρ → d ρ ρ 2 = g d Z k

Vamos agora integrar esses dois lados, com os intervalos de Z [0, z] e ρ [ 1030 – ρ ]

∫ 1030 ρ d ρ ρ 2 = g k ∫ 0 z d Z → 1 1030 - 1 ρ = g z k

ρ = 1 1 1030 - g z k

Passo 3

Substituindo essa equação dentro da equação da variação de pressão

∫ P 0 P d P = ∫ 0 z g d z 1 1030 - g z k → P = P 0 + k   l n ⁡ ( 1 1 - 1030 g z k

Substituindo os valores na equação, onde P0 = 98000 Pa e K = 2,34 x 109 N/m²

P = 2,550   x   10 7   P a

Resposta

P = 2,550   x   10 7   P a

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