Enunciado

Determinar o coeficiente α da energia cinética para o escoamento turbulento de um líquido num tubo de seção circular. O diagrama de velocidades é v = v m a x 1 - r R 1 / 7 .

Passo 1

Nesse caso, como não conhecemos esse diagrama de velocidades, precisamos calcular a velocidade média através de:

v m = 1 A ∫ A   v d A

Substituindo o diagrama dado e sabendo que A = π R 2 → d A = 2 π r d r :

v m = 1 π R 2 ∫ 0 R v m a x 1 - r R 1 / 7 2 π r d r

v m = 2 v m a x R 2 ∫ 0 R R - r 1 / 7 R 1 / 7 r d r → v m = 2 v m a x R 15 / 7 ∫ 0 R R - r 1 / 7 r d r

Agora, para resolver a integral, vamos usar o método da subsituição, fazendo: u = R - r → d u = - d r , temos que quando r → 0 → u → R e r → R → u → 0 , então:

v m = 2 v m a x R 15 / 7 ∫ R 0 u 1 7 ( R - u ) ( - d u ) → v m = 2 v m a x R 15 7 - ∫ R 0 u 1 7 R - u 8 7 d u

Resolvendo a integral, temos:

v m = 2 v m a x R 15 7 - 7 8 u 8 7 R - 7 15 u 15 7 R 0

Substituindo os limites de integração:

v m = 2 v m a x R 15 7 - 7 8 0 8 7 R - 7 15 0 15 7 - 7 8 R 8 7 R - 7 15 R 15 7

v m = 2 v m a x R 15 7 7 8 R 8 7 R - 7 15 R 15 7 → v m = 2 v m a x R 15 7 49 120 R 15 7

Então, temos que:

v m = 49 60 v m a x

Da equação 4.24 do livro, temos que α é dado por:

α = 1 A ∫ A   v v m 3 d A

Então, substituindo o valor do diagrama de velocidades fornecido e o valor da velocidade média encontrada temos:

α = 1 A ∫ A   v m a x 1 - r R 1 / 7 49 60 v m a x 3 d A

Passo 2

Como o enunciado disse que a seção era circular, então A = π R 2 → d A = 2 π r d r , substituindo esses valores na equação do passo 1, temos:

α = 1 π R 2 ∫ 0 R v m a x 1 - r R 1 / 7 49 60 v m a x 3 2 π r d r

Simplificando a expressão, temos:

α = 60 49 3 2 R 2 ∫ 0 R 1 - r R 1 / 7 3 r d r → α = 120 49 1 R 2 ∫ 0 R R - r R 3 / 7 r d r

α = 60 49 3 2 R 2 ∫ 0 R R - r 3 7 R 3 / 7 r d r → α = 120 49 1 R 17 / 7 ∫ 0 R R - r 3 7 r d r

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição, fazendo u = R - r → d u = - d r , e dessa forma, quando r → 0 → u → R e r → R → u → 0 , então, reescrevendo a integral, temos:

α = 60 49 3 2 R 17 / 7 ∫ R 0 u 3 7 ( R - u ) ( - d u ) → α = 120 49 1 R 17 / 7 - ∫ R 0 u 3 7 R - u 10 7 d u

Passo 3

Agora, resolvendo a integral, temos:

α = 60 49 3 2 R 17 / 7 - 7 10 u 10 7 R - 7 17 u 17 7 R 0

Substituindo os limites de integração:

α = 60 49 3 2 R 17 / 7 - 7 10 0 10 7 R - 7 17 0 17 7 - 7 10 R 10 7 R - 7 17 R 17 7

α = 60 49 3 2 R 17 / 7 7 10 R 10 7 R - 7 17 R 17 7 → α = 120 49 1 R 17 7 119 - 70 170 R 17 7

Dessa forma, o valor de α é:

α = 60 49 3 2 R 17 / 7 49 170 R 17 7 → α = 1,06

Resposta

α = 1,06

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