Enunciado

Devido à sua comparativamente alta condutividade térmica, a água é um fluido com preferência para o resfriamento convectivo. Entretanto, em aplicações envolvendo dispositivos eletrônicos, a água não pode entrar em contato com esses dispositivos, que têm que ser então hermeticamente selados. Para evitar complexidades de projeto e operacionais e para garantir que os dispositivos não sejam deixados inoperantes pelo contato com o refrigerante, um fluido dielétrico é normalmente usado no lugar da água. Muitos gases têm excelentes características dielétricas e, apesar de suas pobres propriedades em relação à transferência de calor, o ar é a escolha comum para o resfriamento de eletrônicos. Contudo, há uma alternativa que envolve a classe dos líquidos perfluorinados que são excelentes dielétricos e têm propriedades da transferência de calor superiores às dos gases.

Considere o resfriamento do chip com microcanais do Problema 8.109, mas agora usando um líquido perfluorinado com as seguintes propriedades: c p = 1050 J/(kg · K), k = 0,065 W/(m · K), μ = 0,0012 N · s/m² e Pr = 15.

(a) Para dimensões dos canais de H = 200 μm, W = 50 μm e S = 20 μm, uma condutividade térmica do chip de k c h = 140 W/(m · K) e largura do chip de L = 10 mm, uma temperatura na base do canal (x = 0) de T s = 350 K, uma temperatura na entrada do canal de T m , e n t = 290 K, e uma vazão mássica de m ˙ 1 = 10 - 4   k g / s por canal, determine a temperatura de saída do líquido dielétrico e a dissipação de potência no chip.

(b) Considere as condições anteriores, mas com o ar com uma vazão de m ˙ 1 = 10 - 6   k g / s sendo usado como refrigerante. Usando propriedades do ar iguais a c p = 1007 J/(kg · K), k = 0,0263 W/(m · K) e μ = 185.10 - 7   N . s / m 2 , determine a temperatura de saída do ar e a dissipação de potência no chip.

Passo 1

Antes de começar o exercício, é interessante dar uma olhada no Problema 8.109 e analisar a geometria do problema, porque a análise aqui será basicamente a mesma. Então vamos lá!

Teremos as laterais dos microcanais agindo como se fossem aletas. Vamos calcular o passo S dos canais através da equação fornecida no enunciado, onde teremos:

S = L N = 10.10 - 3 50 → S = 2.10 - 4   m

Com isso, o espaçamento entre os canais será:

δ = S - W = 2.10 - 4 - 50.10 - 6 → δ = 1,5.10 - 4

Agora, como vamos tratar as laterais dos microcanais como aletas, temos que a resistência térmica da célula pode ser encontrada através da equação 3.108, dada para um conjunto de aletas, onde temos:

R t = 1 η o h A t

Onde nós temos que:

A t = A f + A b = L ( 2 H + W )

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

A t = 0,01 2 2.10 - 4 + 50.10 - 6 → A t = 4,5.10 - 6   m 2

Passo 2

Agora vamos calcular o diâmetro hidráulico para o nosso sistema, que será dado por:

D h = 4 H . W 2 H + W = 4 2.10 - 4 50.10 - 6 2 2.10 - 4 + 50.10 - 6 → D h = 8.10 - 5   m

Então, com isso, podemos encontrar o número de Reynolds, que será dado por:

R e D = ρ u m D h μ

Sabemos que a vazão mássica pode ser escrita como:

m ˙ = ρ u m A c → ρ u m = m ˙ A c

Substituindo essa expressão na equação para Reynolds e substituindo os valores conhecidos, temos:

R e D = m ˙ D h μ A c = 10 - 4 8.10 - 5 0,0012 50.10 - 6 2.10 - 4 → R e D = 666,7

Dessa forma, sabemos que o escoamento será laminar.

Passo 3

Com o número de Reynolds encontrado no passo 2, temos que o escoamento é laminar. Com isso, vamos consultar a tabela 8.1 vista nessa seção e apresentada a seguir para obter no número de Nusselt para o escoamento:

Então, precisamos calcular a razão b/a, onde teremos:

b a = H W = 200 50 → b a = 4

E, como temos T s uniforme, então no nosso caso teremos:

N u D = 4,44

Com isso, sabendo que o número de Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte relação:

h = N u D k D h

Substituindo os valores conhecidos, temos:

h = 4,44 0,065 8.10 - 5 → h = 3607,5   W / m 2 . K

Agora, com isso podemos calcular a eficiência de uma aleta, dada por:

η f = tanh ⁡ m H m H

Onde temos:

m = 2 h k c h δ

Substituindo os valores conhecidos, temos:

m = 2 3607,5 140 1,5.10 - 4 → m = 586,1

Então, a eficiência para uma aleta será:

η f = tanh ⁡ 586,1 2.10 - 4 586,1 2.10 - 4 → η f = 0 , 9955

Passo 4

Agora, com a eficiência da aleta, podemos calcular a eficiência geral de superfície, dada por:

η o = 1 - A f A t 1 - η f = 1 - 4.10 - 6 4,5.10 - 6 1 - 0,9955 → η o = 0,996

Com esse valor, podemos calcular a resistência térmica descrita lá no passo 1, onde teremos:

R t = 1 η o h A t = 1 0,996 ( 3607,5 ) ( 4,5.10 - 6 ) → R t = 61,8   K / W

E, agora, podemos utilizar a equação 8.45b vista nesse capítulo para encontrar a temperatura média de saída. Dessa forma, teremos:

Δ T s a i Δ T e n t = T ∞ - T m , s a i T ∞ - T m , e n t = exp ⁡ - 1 m ˙ c p R t

Como no nosso caso, conhecemos a temperatura da superfície externa e ela é constante, a equação se torna:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - 1 m ˙ c p R t

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

350 - T m , s a i 350 - 290 = exp ⁡ - 1 10 - 4 1050 61,8

350 - T m , s a i 60 = 0,8572 → T m , s a i = 298,6   K

Agora, com a temperatura de saída, conseguimos encontrar a potência dissipada pelo chip, através do calor trocado com a água, dada por:

q = m ˙ T c p T m , s a i - T m , e n t = N m ˙ c p T m , s a i - T m , e n t

Substituindo os valores conhecidos, temos:

q = 50 10 - 4 1050 298,6 - 290 → q = 45,1   W

Passo 5

Agora, para a letra (b), com o ar com uma vazão de m ˙ 1 = 10 - 6   k g / s sendo usado como refrigerante. Usando propriedades do ar iguais a c p = 1007 J/(kg · K), k = 0,0263 W/(m · K) e μ = 185.10 - 7   N . s / m 2 . Agora devemos repetir os cálculos feitos para a letra (a), então, vamos lá, começando pela área total, como não houve alteração em H e W, a área será a mesma, ou seja:

A t = 4,5.10 - 6   m 2

O diâmetro hidráulico também será o mesmo, mas o número de Reynolds mudará, já que alteramos o fluido, e teremos agora:

R e D = m ˙ D h μ A c = 10 - 6 8.10 - 5 185.10 - 7 50.10 - 6 2.10 - 4 → R e D = 432

O escoamento continua sendo laminar. Teremos também o mesmo valor de Nusselt, já que a temperatura continua constante na superfície e a geometria dos microcanais não mudaram, então teremos:

N u D = 4,44

Teremos no entanto um novo valor de coeficiente convectivo, dado agora por:

h = 4,44 0,0263 8.10 - 5 → h = 1459,6   W / m 2 . K

E a eficiência de cada aleta será dada por:

η f = tanh ⁡ m H m H

Onde m é dada por:

m = 2 h k c h δ

Substituindo os valores conhecidos, temos:

m = 2 1459,6 140 50.10 - 6 → m = 645,8

Então a eficiência de cada aleta será:

η f = tanh ⁡ 645 , 8 2.10 - 4 645 , 8 2.10 - 4 → η f = 0 , 9944

Passo 6

Agora, com a eficiência da aleta, podemos calcular a eficiência geral de superfície, dada por:

η o = 1 - A f A t 1 - η f = 1 - 4.10 - 6 4,5.10 - 6 1 - 0,9944 → η o = 0,995

Com esse valor, podemos calcular a resistência térmica descrita lá no passo 1, onde teremos:

R t = 1 η o h A t = 1 0,995 ( 1459,6 ) ( 4,5.10 - 6 ) → R t = 153   K / W

Agora, calculando a temperatura média de saída teremos:

350 - T m , s a i 350 - 290 = exp ⁡ - 1 10 - 6 1007 153

350 - T m , s a i 60 = 0,00152 → T m , s a i = 349,9   K

Agora, com a temperatura de saída, conseguimos encontrar a potência dissipada pelo chip, através do calor trocado com a água, dada por:

q = m ˙ T c p T m , s a i - T m , e n t = N m ˙ c p T m , s a i - T m , e n t

Substituindo os valores conhecidos, temos:

q = 5 0 10 - 6 1007 349,9 - 290 → q = 3,02   W

Resposta

a :   T m , s a i = 298,6   K

a :   q = 45,1   W

b :   T m , s a i = 349,9   K

b : q = 3,02   W

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