Enunciado

Um dispositivo comum usado em diversas aplicações para limpar o ar carregado de partículas é o ciclone de escoamento reverso (Figura). O ar com poeira (vazão em volume e densidade ρ ) entra tangencialmente através de uma abertura na lateral do ciclone e gira ao redor do tanque. As partículas de poeira são lançadas para fora e caem na parte inferior, enquanto o ar limpo é tirado para a parte superior. Os ciclones de escoamento reverso em estudo são todos geometricamente semelhantes. Assim, o diâmetro D representa a única escala de comprimento necessária para especificar completamente toda a geometria do ciclone. Os engenheiros estão preocupados com a queda de pressão δ P através do ciclone.

(a) Gere uma relação adimensional entre a queda de pressão através do ciclone e os

parâmetros dados. Mostre todo o seu trabalho;

(b) Se o tamanho do ciclone dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a queda de pressão variará?

(c) Se a vazão em volume dobrar, com todas as outras condições iguais, com qual fator a

queda de pressão variará?

Passo 1

Vamos lá! Isso nada mais é do que uma questão que envolve análise dimensional e semelhança!!!

Vamos começar a nossa letra a então!!

(a) Gere uma relação adimensional entre a queda de pressão através do ciclone e os

parâmetros dados.

Pra começar, vamos listar as variáveis relavantes:

δ P = f ( ρ , V ˙ , D )

Daqui a gente já consegue ver o número de parâmetros, que são δ P , ρ , V ˙   e   D então:

n = 4

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

Vamos começar por δ P :

δ P = { m 1 L - 1 t - 2 }

Agora a densidade, ρ :

ρ = { m 1 L - 3 }

Vazão volumétrica, V ˙ :

V ˙ = { L 3 t - 1 }

Diâmetro, D:

D = { L - 1 }

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j

O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 4 !

Substituindo:

k = 4 - 3 = 1

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 1 . Então vamos atrás dele!!

Para isso, precisamos decidir quais vão ser os 3   parâmetros repetidos.

Temos δ P ,   ρ ,   V ˙ e D , como δ P é o parâmetro dependente a nossa única opção é escolher   ρ ,   V ˙ e D como parâmetros repetidos.

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π !!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { δ P × ρ a × V ˙ b D c }

Eles tem que ter dimensão zero, como a gente ta vendo no lado esquerdo da igualdade! Agora vamos substituir esses parâmetros pelas suas respectivas dimensões primárias!

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { m 1 L - 1 t - 2 × m 1   L - 3 a × L 3 t - 1 b L 1 c }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = { m 1 m 1 a }  

0 = 1 + a

a = - 1

Tempo:

t 0 = { t - 2 t - 1 b }

0 = - 2 - b

b = - 2

Comprimento:

L 0 = { L - 1 L - 3 a L 3 b L 1 c }

0 = - 1 - 3 a + 3 b + c  

c = 1 + 3 - 1 - 3 - 2 = 4

Então ficamos com:

a = - 1

b = - 2

c = 4

Agora que a gente conhece os expoentes, vamos substituir:

π 1 = { δ P × ρ - 1 × V ˙ - 2 D 4 }

Organizando:

π 1 = δ P × D 4 ρ × V ˙ 2    

Como só temos um grupo π ele não pode ser função de outros grupos π , logo dizemos que ele é igual a uma contante:

π 1 = δ P × D 4 ρ × V ˙ 2     = c o n s t a n t e

Com isso a relação que o enunciado pediu, fica:

δ P = c o n s t a n t e × ρ V ˙ 2 D 4

Passo 2

Agora que a gente conhece a relação entre a queda de pressão, δ P com as outras variáveis do ciclone, podemos responder a letra b!

Que é:

(b) Se o tamanho do ciclone dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator a queda de pressão variará?

Então vamos pegar a relação que terminamos de ver:

δ P = c o n s t a n t e × ρ V ˙ 2 D 4

Como apenas δ P e D variam a gente pode fazer a seguinte igualdade:

δ P 1 δ P 2 = D 2     4 D 1     4

Sabendo que o diâmetro vai dobrar, escrevemos:

δ P 1 δ P 2 = 2 D 1 4 D _ 1       4

Agora arrumando:

δ P 1 δ P 2 = 2 4 D 1     4 D _ 1       4

δ P 2 = δ P 1 2 4

É isso ai!! Quando o diâmetro dobra a pessão tem uma queda no fator de 2 4 !!

Passo 3

Agora para a letra c o raciocínio é bem parecido!

(c) Se a vazão em volume dobrar, com todas as outras condições iguais, com qual fator a

queda de pressão variará?

δ P 1 δ P 2 = V ˙ 1     2 V ˙ 2     2

Como o volume dobra, fazemos:

δ P 1 δ P 2 = V ˙ 1     2 2 V 1 ˙ 2

δ P 2 = 2 2 V ˙ 1     2 δ P 1

Logo a pessão vai aumentar em um fator de 2 2 !!

Resposta

(a) δ P = c o n s t a n t e × ρ V ˙ 2 D 4 ;

(b) A pressão vai diminuir em um fator de 2 4 ;

(c) A pressão vai aumentar em um fator de 2 2 .

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