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A taxa de transferência de calor para a água que escoa em um tubo foi analisada no Problema 7-20. Vamos abordar esse mesmo problema, mas agora com a análise dimensional. A água fria entra em um tubo, onde ela é aquecida por uma fonte externa de calor (Figura P7-64). As temperaturas de entrada e saída da água são T e e T s , respectivamente. Sabe-se que a taxa total de transferência de calor Q ˙ da vizinhança para a água do tubo é uma função da vazão de massa m ˙ , do calor específico c p da água e da diferença de temperatura entre a água de entrada e de saída. Mostrando todo o seu trabalho, use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros e a compare com a equação analítica dada no Problema 7-20. (Observação: estamos considerando que não conhecemos a equação analítica.)

Passo 1

Vamos começar escrevendo a taxa de transferência de calor em função dos termos relevantes para o problema:

Q ˙ = f m ˙ ,   c p ,   T s - T e                 n = 4

Podemos escrever os parâmetros em termos das dimensões primárias:

Q ˙ → m 1 L 2 t - 3

m ˙ → m 1 t - 1

c p → L 2 t - 2 T - 1

T s - T e → T 1

Passo 2

Como temos quatro dimensões primárias, é esperado que j = 3 . Assim, número de grupos Π esperados são:

k = n - j = 4 - 4 = 0

Isso não está correto e, com isso, vamos reduzir j em um:

j = 4 - 1 = 3

Logo:

k = 4 - 3 = 1

Assim teremos 1 número adimensional Π .

Vamos agora escolher três parâmetros que se repetem. Como a taxa de transferência de calor é escrita em função de três termos, escolhemos esses mesmos como parâmetros repetitivos. Assim:

Π 1 = Q ˙ m ˙ a c p b T s - T e c → Π 1 = m 1 L 2 t - 3   m 1 t - 1 a L 2 t - 2 T - 1 b T 1 c

Vamos obter os expoentes a, b e c comparando os expoentes de cada dimensão primária do lado esquerdo com o lado direito da relação do número Π

Massa:

m 0 = m 1 + a → 0 = 1 + a → a = - 1

Comprimento:

L 0 = L 2 L 2 b → 0 = 2 + 2 b → b = - 1

Temperatura:

T 0 = T - b T c → 0 = c - b → c = - 1

A dimensão relacionada ao tempo pode ser usada para conferir que os expoentes estão corretos.

Passo 3

Substituindo os expoentes na relação do número adimensional Π 1 temos:

Π 1 = Q ˙ m ˙ - 1 c p - 1 T s - T e - 1 →   Π 1 = Q ˙ m ˙ c p T s - T e

Como temos somente 1 número Π , podemos considerá-lo como uma constante. Temos assim:

Q ˙ = C m ˙ c p T s - T e

Essa relação obtida utilizando análise dimensional difere-se da equação analítica, dada por Q ˙ = m ˙ c p ( T s - T e ) , onde temos que C = 1 . No caso da análise dimensional, para que se tenha um valor para C , é preciso realizar experimentos para determinar o valor da constante.

Passo 4

Passo 5

Resposta

Π 1 = Q ˙ m ˙ c p T s - T e = c o n s t a n t e

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