Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa - Capítulo 5.Problemas - Ex. 20

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desse livro

Um dispositivo eletrônico, como um transistor de potência montado sobre um dissipador de calor aletado, pode ser modelado como um objeto espacialmente isotérmico com geração de calor interna e uma resistência convectiva externa.

(a) Considere um desses sistemas com massa M , calor específico c e área superficial A s , que se encontra inicialmente em equilíbrio com o ambiente a T ∞ . Subitamente, o dispositivo eletrônico é energizado e ocorre uma geração de calor constante Ė g   ( W ) . Mostre que a resposta da temperatura do dispositivo é

θ θ i = exp ⁡ - t R C

na qual θ   ≡   T   –   T ( ∞ ) e T ( ∞ ) é a temperatura no regime estacionário correspondente a t   →   ∞ ;   θ i = T i   –   T ( ∞ ) ;   T i   = temperatura inicial do dispositivo; ρ = resistência térmica 1   h - A s ; e C   = capacitância térmica M c .

(b) Um dispositivo eletrônico, que gera 60   W de calor, está montado sobre um dissipador de calor feito em alumínio pesando 0,31   k g , que em condições de regime estacionário atinge uma temperatura de 100 ° C no ar ambiente a 20 ° C . Se o dispositivo estiver inicialmente a 20 ° C , qual é a temperatura que ele atingirá 5   m i n após a potência ser ligada?

Passo 1

Beleza galerinha, vamos lá! Temos de cara que a questão nos entrega um problema relacionado a dissipação de calor e como um dispositivo eletrônico vai reagir a troca de calor realizada nele. Mas relaxem, o texto é bem grande, mas a solução nem é tão difícil assim 😊 Analisando, temos que (a) Após a análise geral do item 5.3, aplicamos a conservação de energia necessária ao objeto,

E i n + E g - E o u t = E s t

E g - h - A s T - T ∞ = M c d T d t (1)

Legal? Então vamos seguindo. Consideremos agora as condições estacionárias, caso em que o prazo de armazenamento do Eq. (1) é zero. A temperatura do objeto será T ∞ tal que

E g = h - A s T ( ∞ ) - T ∞ (2)

Passo 2

Substituindo esse valor que encontramos na Eq. (2), na Eq. (1), geramos uma E.D.O! Mas calma, ela é amigável 😊!

T ( ∞ ) - T ∞ - T - T ∞ = M c h - A s d T d t

Mas olhem só: o que significa esse primeiro termo? Isso mesmo: o θ ! Portanto, nossa equação fica:

θ = M c h - A s d θ d t

Legal? Continuemos. Identificando R t = 1 / h - A s (a questão nos entregou isso) e C t = M c , a nossa EDO é integrada!

1 R t C t ∫ 0 t d t = - ∫ θ i θ d θ θ

E essas integrais são de boas! Temos:

θ θ i = exp ⁡ - t R t C t

Passo 3

Você pode estar pensando que esse item precisa saber alguma coisa de engenharia elétrica, mas relaxa galera, não precisa! Vou provar pra vocês! (b) Usando as informações sobre condições de estado estacionário e Eq. (2), encontraremos primeiro a resistência térmica e a capacitância do sistema,

R t = 1 h - A s = T ∞ - T ∞ E g = 100 - 20 ° C 60   W = 1.33 K / W

C t = M c = 0.31   k g × 918 J / k g ⋅ K = 285 J / K

Agora vamos usar a nossa resposta do item a), para calcular a temperatura depois de 5 minutos!

θ θ i = exp ⁡ - t R t C t

θ ( 5 min ⁡   ) θ i = T 5 min ⁡   - T ( ∞ ) T i - T ( ∞ ) = T 5 min ⁡   - 100 ° C 20 - 100 ° C = exp ⁡ - 5 × 50 s 1.33 K W ⋅ 285 J / K

= 0.453

Agora vamos pegar essa taxa, e jogar ele de volta no cálculo para temperatura!

T ( 5 min ⁡   ) = 100 ° C + 20 - 100 ° C × 0.453 = 63.8   ° C

Falei pra vocês que não precisou usar conhecimentos específicos de elétrica!

Resposta

a ) P r o v a   n o s   p a s s o s   1   e   2

b )   T = 63.8 ° C

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