Enunciado

Uma unidade de armazenamento de energia térmica é formada por um grande canal retangular, que tem as suas superfícies externas isoladas e que apresenta no seu interior camadas do material de armazenamento separadas por canais de escoamento.

Cada camada do material de armazenamento é uma chapa de alumínio com largura W   =   0,05   m e se encontra a uma temperatura inicial de 25 ° C . Considere condições nas quais a unidade de armazenamento é carregada pela passagem de gases quentes através dos canais de escoamento, com a temperatura dos gases e o coeficiente convectivo supostos terem valores constantes de T ∞   =   600 ° C e h   =   100 W m 2   ·   K ao longo dos canais. Quanto tempo será necessário para que se atinja 75 % do máximo armazenamento de energia possível? Qual é a temperatura do alumínio nesse instante?

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema nos pede o tempo necessário para as unidades de armazenamento térmico atingirem 75 % da energia térmica máxima possível e a temperatura no centro da esfera pra esse momento, mas antes que tal desenharmos o comportamento desse problema pra entendermos o que o ocorre. Fica assim.

Agora vamos as nossas famosas considerações pra resolver nosso problema.

I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I - T r o c a   d e   c a l o r   e n t r e   a s   p l a c a s   p o r   r a d i a ç ã o   d e s p r e z í v e l  

I I I - C o n v e ç ã o   u n i d i m e n c i o n a l

Passo 2

Agora vamos calcular o número de B i o t pra verificar nossa condição de troca de calor desprezível, calculando nosso número de B i o t temos:

B i = h L c k = 100 W m 2 ⋅ K ⋅ 25 ⋅ 10 - 3 m 231   W m ⋅ K = 0,014

Como B i < 0,1 a consideração que transferência de calor entre a unidades de armazenamento é desprezível, se torna aceitável!

Passo 3

Agora para encontrarmos o tempo necessário pra chegarmos à temperatura que é solicitada vamos aplicar nossa equação 5.08 a , assim temos:

Q = ρ V c θ i 1 - e - t τ t

Como Q é a variação de energia interna e ρ V c θ i são os parâmetros do solido temos que Q / ρ V c θ i será a energia térmica percentual do corpo durante o processo, assim temos:

Como queremos o tempo pra chegarmos até 75 % da capacidade máxima.

Q ρ V c θ i = 0,75 = 1 - e - t τ t   I

Sendo τ t = ρ V c h A s e V A s = L , temos.

τ t = ρ V c h A s = 2702   k g m 3 ⋅ 0,025   m ⋅ 1033   J k g ⋅ K 100   W m 2 ⋅ K = 698   s

Substituindo na equação I .

0,75 = 1 - e - t 698

e - t 698 = 0,25

Aplicando o l n pra temos:

- t 698 = ln ⁡ 0,25 ,   t = 968   s

t = 16   m i n u t o s   e   8   s e g u n d o s

Passo 4

Agora para encontramos a temperatura na unidade de armazenamento vamos usar a equação 5.6 , que nos dá a temperatura em qualquer lugar da unidade, assim temos:

T t = T ∞ + T i - T ∞ ⋅ e - t τ t

T 968 = 600 ° C - 575 ° C ⋅ e - 968 698

T 968 = 456   ° C

Isso é tudo pessoal!

Resposta

t = 16   m i n u t o s   e   8   s e g u n d o s

T = 456   ° C

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