Enunciado

Uma lâmina de aço, com espessura δ = 12   m m , é temperada pela sua passagem através de um grande forno cujas paredes são mantidas a uma temperatura T p , que corresponde a dos gases de combustão que escoam através do forno ( T p = T ∞ ) . A lâmina, cuja massa específica, calor específico, condutividade térmica e emissividade são ρ = 7900   k g / m 3 , c p = 640   J / ( k g · K ) , k = 30   W / ( m · K ) e ε = 0,7 ; respectivamente, deve ser aquecida de 300 ° C a 600 ° C .

(a)Para um coeficiente de transferência de calor uniforme h   =   100   W / ( m 2   ·   K ) e uma temperatura T p   =   T ∞   =   700 ° C , determine o tempo necessário para aquecer a lâmina. Se a lâmina se move a uma velocidade de 0,5   m / s ; qual deve ser o comprimento do forno?

(b)O processo de têmpera pode ser acelerado (a velocidade da lâmina aumentada) pelo aumento da temperatura ambiente. Para o comprimento do forno obtido na parte (a), determine a velocidade da lâmina para T p = T ∞ = 850 ° C e para T p = T ∞ = 1000 ° C . Para cada conjunto de temperaturas ambiente ( 700 ,   850   e   1000 ° C ), represente graficamente a temperatura da lâmina em função do tempo na faixa 25 ° C   ≤   T   ≤   600 ° C . Ao longo dessa faixa, represente também o coeficiente de transferência de calor por radiação, h r , como uma função do tempo.

Passo 1

Here we go! (a)Considerando uma massa fixa (de controle) da tira móvel, sua variação de temperatura com o tempo pode ser obtida a partir de um balanço energético que iguala a mudança no armazenamento de energia à transferência de calor por convecção e radiação. Não entendeu? Se ainda não, vou falar de áreas: Se a área de superfície associada a um lado da massa de controle for designada como A s , c = A s , r = 2 A s e V = δ A s na Equação 5.15, o que reduz para

ρ c δ d T d t = - 2 h T - T ∞ + ε σ   T 4 - T s u p 4

Ou, introduzindo o coeficiente de radiação das Equações 1.8 e 1.9 e integrando:

T f - T i = - 1 ρ c ( δ / 2 ) ∫ o t f h T - T ∞ + h r ( T - T s u p ) d t

Passo 2

Então pessoal, aqui temos dois caminhos: integrar esse monstro para achar uma aproximação, ou trabalhar numericamente, que pra esse conteúdo eu julgo o mais adequado, considerando que questões desse tipo, sempre é bom termos valores numéricos até mesmo para comparação com a vida real. Portanto, utilizando valores numéricos com T i = 573   K , encontramos T f = 873 K corresponde a:

t f ≈ 209   s

Neste caso, o comprimento do forno necessário é

L = V t f ≈ 0.5   m / s × 209   s ≈ 105 m

Passo 3

(b) Para T w = 1123   K e 1273 K , a integral numérica é aproximadamente t f ≈ 102 e 62   s , respectivamente. Portanto, para um L = 105   m , voltamos para a equação lá de cima para calcular as velocidades!

V T w = 1123 K = 1.03   m / s

V T w = 1273   K = 1.69   m / s

que correspondem a taxas de aumento do processo de 106 % e 238 % , respectivamente. Claramente, a produtividade pode ser aumentada através do aumento da temperatura ambiente do forno, embora às custas do aumento da utilização de energia e dos custos operacionais. Se o processo de recozimento se estende de 25°C (298 K) a 600°C (873 K), a integração numérica produz os seguintes resultados para as temperaturas prescritas para o forno:

Resposta

a ) t F = 209   s ,     L = 105 m

b ) G r á f i c o   n o   p a s s o   3

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