Enunciado

Processos em batelada são frequentemente usados em operações químicas e farmacêuticas para obter uma composição química desejada no produto final e tipicamente envolvem uma operação de aquecimento transiente para levar os reagentes da temperatura ambiente para a temperatura necessária no processo. Seja uma situação na qual uma substância química de massa específica   ρ   =   1200   k g / m 3 e calor específico c   =   2200   J / ( k g · K ) ocupa um volume de V   =   2,25   m 3 em um vaso isolado termicamente. A substância deve ser aquecida da temperatura ambiente, T i   =   300   K , até uma temperatura de processo igual a T = 450   K , pela passagem de vapor d’água saturado a T a   =   500   K através da serpentina no interior do vaso, cujo tubo tem parede delgada e 20   m m de diâmetro. O vapor condensando no interior da serpentina mantém um coeficiente convectivo no seu interior de h i = 10.000   W / ( m 2 ⋅ K ) , enquanto o líquido altamente agitado no interior do vaso mantém um coeficiente convectivo externo de h e = 2000   W / ( m 2 · K ) .

Se a substância deve ser aquecida de 300   a   450   K , em 60 minutos, qual é o comprimento L necessário da serpentina submersa?

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema nos pede o comprimento da serpentina para o aquecimento desejado, mas antes que tal desenharmos um esboço do comportamento desse problema pra entendermos o que o ocorre. Fica assim.

Agora vamos as nossas famosas considerações pra resolver nosso problema.

I - T r a b a l h o   p e l a   m i s t u r a   d a s   d o s   r e a g e n t e s   d e s p r e z í v e l

I I - C a p a c i t â n c i a   t e r m i c a   d o   v a s o   p o d e   s e r   d e s p r e z í v e l

I I I - T r o c a   t e r m i c a   d o   v a s o   c o m   a s   v i z i n h a n ç a s   d e s p r e z í v e l

I V - p r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

V - A b s o r ç ã o   e   g e r a ç ã o   d e   c a l o r   d e v i d o   a o   p r o c e s s o   q u i m i c o   s ã o   d e s p r e z í v e i s

V I - R e s i s t e n c i a   c o n d u t i v a   d a s   p a r e d e s   d o   t u b o   d e s p r e z í v e i s

V I I - E n e r g i a   c i n é t i c a ,   p o t e n c i a l   e   f l u x o   d e   t r a b a l h o   d e s p r e z í v e i s   d u r a n t e   o   p r o c e s s o

Passo 2

Podemos considerar nossa questão como um aquecimento de regime transiente, de capacitância global, onde o aquecimento devido ao vapor é balanceado pelo aumento da temperatura na reação química, assim nosso balanço de energia fica:

d U d t = ρ V c d T d t = U A s T a - T

Rearranjando e integrando os dois lados temos:

∫ T i T d T T a - T = ∫ 0 t U A s ρ V c d t

- ln ⁡ T a - T T a - T i = U A s t ρ V c

A s = - ρ V c ln ⁡ T a - T T a - T i U t

Sendo U = h i - 1 + h o - 1 - 1 :

U = 10.000 - 1 + 2.000 - 1 - 1 = 1670 W m 2 ⋅ K

Assim nossa equação para t = 1 h = 3600 s fica:

A s = - 1200 k g m 3 ⋅ 2,25 m 3 ⋅ 2200 J k g ⋅ K 1670 W m 2 ⋅ K ⋅ 3600 s ln ⁡ 500 - 450 500 - 300

A s = 1,37   m 2

Lembrando que A s = L π D

L = A s π D = 1,37   m 2 π 0,02   m

L = 21,8   m e t r o s

Isso é tudo pessoal! Essa questão não é complicada, só precisamos estar atentos as considerações pra simplificar o máximo possível o balanço de energia!

Resposta

L = 21,8   m e t r o s

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