Enunciado

Em um elemento combustível cilíndrico para reator nuclear, com 50   m m   de diâmetro, há geração interna de calor a uma taxa uniforme de   q ̇ =   5   ×   10 7   W / m 3 . Em condições de regime estacionário, a distribuição de temperaturas no seu interior tem a forma   T ( r )   =   a   +   b r 2 , na qual T   está em graus Celsius e r em metros, enquanto a   =   800 ° C   e   b   =   24,167   ×   10 5   ° C / m 2   . As propriedades do elemento combustível são k   =   30   W / ( m   ·   K ) , ρ   =   1100   k g / m 3 e c p   =   800   J / ( k g   ·   K ) .

(a) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do elemento, em r   =   0   (a linha central do elemento) e em r   =   25   m m   (a superfície)?

(b) Se o nível de potência do reator for subitamente aumentado para   q ˙ 2   =   10 8   W / m 3 , qual são as taxas iniciais da variação de temperaturas com o tempo em r   =   0   e   r   =   25   m m ?

Passo 1

Ora ora, o que temos aqui?? Uma questão sobre distribuição de temperatura em estado estacionário em uma haste cilíndrica com geração de calor uniforme de q ˙ 1 =   5   ×   10 7   W / m 3 . Ilustrando esse problema:

Nós queremos encontrar as taxas de transferência de calor da linha central e da superfície em estado estacionário por unidade de comprimento,   q r ' . E a taxa inicial de variação da temperatura da linha central e da superfície em resposta a uma mudança na taxa de geração de q ˙ 1 para   q ˙ 2   =   10 8   W / m 3

Passo 2

Para resolver essa questão, nós vamos assumir que a condução é unidimensional em r , a geração é uniforme e estamos em condição de estado estacionário para q ˙ 1 =   5   ×   10 7   W / m 3 .

Começando pela letra (a), para calcular a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento do elemento com diferentes raios. Vamos utilizar a equação da taxa para coordenadas cilíndricas:

q r ' ' = - k ∂ T ∂ r e         q r = - k A r ∂ T ∂ r

Então,

q r = - k ( 2 π r L ) ∂ T ∂ r

Ou,

q ' r = - 2 π k r ∂ T ∂ r

Onde   ∂ T   /   ∂ r   pode ser pela distribuição de temperatura, T r . Em r = 0 , o gradiente é:

∂ T ∂ r = 0

Então,

q r ' 0 = 0

Em r = r o , o gradiente de temperatura é:

∂ T ∂ r r = r o = - 2 4,167   × 10 5   ℃ m 2 r o =   - 2 4,167   × 10 5   ℃ m 2 ( 0,025 m )

∂ T ∂ r r = r o = - 1,21 × 10 5   ℃ / m

Ou:

∂ T ∂ r r = r o = - 121.273   K / m

Então, a taxa de calor na superfície externa ( r   =   r o )   por unidade de comprimento é:

q r ' r o = - 2 π 30 W m . K 0,025 m - 121.273   K m

q r ' r o = 5,71 × 10 5   W / m

Passo 3

Já a letra (b) nos pede para calcular as taxas iniciais da variação de temperaturas com o tempo. Essas condições transientes (dependentes do tempo) existirão quando a geração for alterada e, para as suposições prescritas, a temperatura é determinada pela seguinte forma da equação do calor:

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + q ˙ 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

Então,

∂ T ∂ t = 1 ρ c p 1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + q ˙ 2

No entanto, inicialmente (em t   =   0 ), a distribuição de temperatura é dada pela forma:

T r = 800 - 4,167 × 10 5 r 2

Então,

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r = k r ∂ ∂ t r - 8,334 × 10 5 . r

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r = k r ( - 16,668 × 10 5 . r )

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r = 30 W m .   K - 16,668 × 10 5 K m 2

1 r ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r = - 5 × 10 7 W / m 3   ( o   o r i g i n a l   q ˙ = q ˙ 1 )

Então, em toda parede, temos:

∂ T ∂ t = 1 1100 k g m 3 × 800 J k g . K - 5 × 10 7 + 10 8   W / m 3

∂ T ∂ t = 56,82   K / s

Uma parada legal de se observar é que o valor de ( ∂ T   /   ∂ t ) irá diminuir com o passar do tempo, até que uma nova condição de estado estacionário seja atingida e mais uma vez   ( ∂ T   /   ∂ t )   =   0 .

Resposta

  1. q r ' 0 = 0       e       q r ' r o = 5,71 × 10 5   W / m
  2. ∂ T ∂ t = 56,82   K / s
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k ≈ 57 W/(m · K)) encontra-se envolto em grafite (k
Em um longo bastão cilíndrico, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica de 0,5 W/(m · K), há geração volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24.000 W/m³. O bastão está encapsulado por uma lu
Um material radioativo com condutividade térmica k é moldado como uma esfera sólida de raio r e e colocado em um banho líquido, no qual a temperatura T ∞ e o coeficiente convectivo h são conhecidos. C
Rejeitos radioativos são colocados em um recipiente esférico de parede delgada. Os rejeitos geram energia térmica de forma não uniforme de acordo com a relação q ˙ = q ˙ e [ 1 - ( r / r e ) ² ] ² , na
Rejeitos radioativos ( k r r = 20 W/(m · K)) são armazenados em um recipiente esférico de aço inoxidável ( k a i = 15 W/(m · K)), com raios interno e externo iguais a r i = 0,5 m e r e = 0,6 m. Calor