Enunciado

Em uma parede plana com espessura 2 L   =   40   m m   e condutividade térmica k   =   5   W / ( m   ·   K )   há geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa q ˙ , enquanto transferência de calor por convecção ocorre em suas duas superfícies ( x   =   - L ,   + L ) ,   cada uma exposta a um fluido com temperatura   T ∞   =   20 ° C . Em condições de regime estacionário, a distribuição de temperaturas no interior da parede tem a forma   T ( x )   =   a   +   b x   +   c x 2 , sendo   a   =   82,0 ° C ,   b   =   - 210 ° C / m , c   = - 2   ×   10 4 ° C / m 2   e x   está em metros. A origem da coordenada x   encontra-se no plano central da parede.

(a) Esboce a distribuição de temperaturas e identifique características físicas significativas.

(b) Qual é a taxa volumétrica de geração de calor q ˙ na parede?

(c) Determine os fluxos térmicos nas superfícies, q x ' ' ( - L ) e q x ' ' ( + L ) . Como esses fluxos estão relacionados com a taxa de geração de calor?

(d) Quais são os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies x   =   - L   e   x   =   + L ?

(e) Obtenha uma expressão para a distribuição de fluxos térmicos, q x ' ' ( x ) . O fluxo térmico é nulo em algum local? Explique algumas características significativas desta distribuição.

(f) Se a fonte da geração térmica for subitamente desativada ( q ˙   =   0 ) ,   qual é a taxa de variação da energia acumulada na parede neste instante?

(g) Com q ˙   =   0 , qual temperatura a parede atingirá após um longo período de tempo? Que quantidade de energia tem que ser removida da parede pelo fluido, por unidade de área da parede ( J / m 2 ) ,   para ela atingir esse estado? A massa específica e o calor específico do material da parede são 2600   k g / m 3   e 800   J / ( k g   ·   K ) ,   respectivamente.

Passo 1

Essa questão é grandinha mas com muita calma, carinho e paciência a gente consegue resolver ela juntos, ta bem? q ˙   enquanto a convecção ocorre em ambas as suas superfícies. Ilustrando isso, nós temos:

A questão nos pede para esboçar a distribuição de temperatura e identificar as características físicas significativas, determinar q ˙ e os fluxos de calor da superfície e dizer como esses fluxos estão relacionados à taxa de geração. Além disso, precisamos calcular os coeficientes de convecção nas superfícies e obter uma expressão para a distribuição do fluxo de calor, explicando as características significativas da distribuição.

Se a fonte de geração de calor for subitamente desativada ( q ˙   = 0 ) , precisamos dizer qual é a taxa de mudança de energia armazenada neste instante. Por fim, temos que determinar a temperatura que a parede atingirá eventualmente com ( q ˙   = 0 ) e determinar a energia que deve ser removida pelo fluido por unidade de área da parede para atingir esse estado.

Ufa! Muito coisa, eu sei, mas vamos respirar fundo e seguir juntos! 😊

Passo 2

Para resolver essa questão vamos considerar que estamos em condição de estado estacionário, a taxa volumétrica de geração de calor é uniforme e as propriedades são constantes.

Na letra (a), queremos esboçar a distribuição de temperaturas, ou seja:

T x = 82 - 210 x - 2 × 10 4 x 2

Lembrando as unidades dos coeficientes:

a   =   82,0 ° C

b   =   - 210 ° C m

c   = - 2   ×   10 4 ° C / m 2

Podemos esboçar o gráfico:

Aqui eu deixei a distância em m m para facilitar a visualização do gráfico, ta bem? E as características significativas são:

(1) Forma parabólica;

(2) O máximo não ocorre no plano médio, T   ( - 5,25   m m )   =   83,3   °   C ;

(3) O gradiente na superfície x   =   +   L   é maior do que em   x   =   - L .

Além disso, vamos encontrar também que T   ( - L )   =   78,2   °   C   e T   ( +   L )   =   69,8   °   C   para usar depois na letra (d).

Passo 3

Na letra (b) queremos a taxa volumétrica de geração de calor q ˙ na parede e, para isso, vamos substituir a expressão da distribuição de temperatura na equação de difusão de calor:

d d x d T d x + q ˙ k = 0

Onde,

T x = a + b x + c x 2

Então,

d d x 0 + b + 2 c x + q ˙ k = 0 + 2 c + q ˙ k = 0

Isolando o q ˙ :

q ˙ = - 2 c k = - 2 - 2   ×   10 4 ° C m 2 5 W m . K

q ˙ = 2 × 10 5   W / m 3

Passo 4

Na letra (c) queremos encontrar os fluxos térmicos nas superfícies, que podem ser determinados usando a lei de Fourier e a expressão da distribuição de temperatura.

q x ' ' x = - k d T d x

Onde,

T x = a + b x + c x 2

Então,

q x ' ' - L = - k 0 + b + 2 c x = - b - 2 c L k

q x ' ' - L = - - 210 ° C m - 2   - 2 ×   10 4 ° C m 2 0,020 m × 5 W m . K

q x ' ' - L = - 2950   W / m 2

Analogamente,

q x ' ' + L = - b + 2 c L k = 5050   W / m 2

A questão também nos pergunta como esses fluxos estão relacionados com a taxa de geração de calor. A partir de um balanço de energia geral na parede, temos:

q x ' ' - L - q x ' ' + L + 2 q ˙ L = 0

Ou,

- 2950 W m 2 - 5050 W m 2 + 8000 W m 2 = 0

Passo 5

Na letra (e), queremos os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies. Eles podem ser determinados a partir dos fluxos de calor de convecção que são iguais aos fluxos de condução nos limites, e vamos utilizar os balanços de energia para chegar em:

q c v , l ' ' = q x ' ' ( - L )

h l T ∞ - T - L = h 1 20 - 78,2 K = - 2950   W / m 2

h l = 51 W m 2 . K

q c v , r ' ' = q x ' ' ( + L )

h r T + L - T ∞ = h r 69,8 - 20 K = 5 0 50   W / m 2

h r = 101 W m 2 . K

Passo 6

Na letra (e), queremos uma expressão para a distribuição de fluxos térmicos, q x ' ' ( x ) e saber se ele é nulo em algum local. Para isso vamos usar a lei de Fourier com a distribuição da temperatura.

q x ' ' x = - k d T d x = - k [ 0 + b + 2 c x ]

Substituindo os valores, temos:

q x ' ' x = - 5 W m . K - 210 ° C m + 2   - 2 ×   10 4 ° C m 2 0,020 m x

q x ' ' x = 1050 + 2 × 10 5 x

A distribuição é linear com a coordenada x e a temperatura máxima ocorrerá no local em que q x ' ' x m a x = 0 ,

x m a x = - 1050 W m 2 2 × 10 5 W m 3 = - 5,25 × 10 - 3   m

x m a x = - 5,25   m m

Passo 7

E na letra (f)? Aqui nós queremos a taxa de variação da energia acumulada na parede quando q ˙   =   0 . Neste caso, a equação de difusão de calor para a condução transiente é:

k ∂ ∂ x ∂ T ∂ x = ρ c p ∂ T ∂ t

No instante em que isso ocorre, a distribuição de temperatura ainda é T   ( x )   =   a   +   b x   +   c x 2 . O termo à direita representa a taxa de armazenamento de energia por unidade de volume,

E ' ' ˙ s t = k ∂ ∂ x 0 + b + 2 c x = k 0 + 2 c = 5 W m . K × 2   - 2 ×   10 4 ° C m 2

E ' ' ˙ s t = - 2 × 10 5   W / m 3

Passo 8

Na (g), e última \o/, queremos saber, com q ˙   =   0 , qual temperatura a parede atingirá após um longo período de tempo e que quantidade de energia tem que ser removida da parede pelo fluido, por unidade de área da parede   para ela atingir esse estado.

Sem geração de calor, a parede vai ficar   em equilíbrio com o fluido,   T   ( x ,   ∞ )   =   T ∞   =   20   °   C , em que t   →   ∞ .   Para determinar a energia que deve ser removida da parede para atingir esse estado, vamos aplicar a conservação de energia. O estado “inicial” é o correspondente à distribuição de temperatura no estado estacionário, T i , e o estado “final” tem T f   =   20   °   C . Usamos T ∞   como condição de referência para os termos de energia.

E e n t ' ' - E s a i ' ' = ∆ E s t ' ' = E f ' ' - E i ' '

Onde,

E e n t ' ' = 0

- E s a i ' ' = ρ c p 2 L T f - T ∞ - ρ c p ∫ - L + L T i - T ∞ d x

E s a i ' ' = ρ c p ∫ - L + L a   +   b x   +   c x 2 - T ∞ d x = ρ c p a x   + b x 2 2 + c x 3 3 - T ∞ x + L - L

E s a i ' ' = ρ c p 2 a L + 0 + 2 c x 3 3 - 2 T ∞ L

E s a i ' ' = 2600 k g m 3 × 800 J k g   ·   K [ 2 × 82 ° C × 0,020 m + 2 - 2 ×   10 4 ° C m 2 0,20 m 3 3

- 2 20 ° C 0,20 m ]

E s a i ' ' = 4,94 × 10 6 J \ m 2

Resposta

(a)

(1) Forma parabólica;

(2) O máximo não ocorre no plano médio, T   ( - 5,25   m m )   =   83,3   °   C ;

(3) O gradiente na superfície x   =   +   L   é maior do que em   x   =   - L .

(b) q ˙ = 2 × 10 5   W / m 3

(c)

q x ' ' - L = - 2950   W / m 2

q x ' ' + L = 5050   W / m 2

q x ' ' - L - q x ' ' + L + 2 q ˙ L = 0

(d) h l = 51 W m 2 . K

h r = 101 W m 2 . K

(e) q x ' ' x = 1050 + 2 × 10 5 x

x m a x = - 5,25   m m

(f)

E ' ' ˙ s t = - 2 × 10 5   W / m 3

(g) E s a i ' ' = 4,94 × 10 6 J \ m 2

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