Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k ≈ 57 W/(m · K)) encontra-se envolto em grafite (k ≈ 3 W/(m · K)) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de T_infinito = 600 K e o coeficiente convectivo na superfície externa do grafite é de h = 2000 W/(m² · K).

(a) Se energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustível a uma taxa q̇ = 10^8 W/m^3 , quais são as temperaturas T_1 e T_2 nas superfícies interna e externa, respectivamente, do elemento combustível?

(b) Calcule e represente a distribuição de temperaturas na parede composta para valores selecionados de q ponto . Qual é o valor máximo permissível para q ponto ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente determine as temperaturas T 1 e T 2 nas superfícies interna e externa, respectivamente, do elemento combustível, e que a gente calcule a distribuição de temperaturas e o valor máximo permissível para q ˙ .

Pra isso, nós vamos encontrar T 2 na superfície externa do combustível (em r = r 2 ) usando as resistências térmicas por unidade de comprimento:

q ' = q ˙ π r 2 2 - r 1 2

Depois, vamos resolver a equação diferencial no combustível (região r 1 ≤ r ��� r 2 ) com geração volumétrica e aplicar as condições de fluxo radial nulo na superfície interna r = r 1 (isolamento):

d T d r r 1 = 0

E a condição de continuidade de temperatura em r = r 2 :

T r 2 = T 2

Vamos lá!

Passo 2

Beleza! Para encontrar a temperatura nas superfícies 1 e 2 , nós vamos utilizar o conceito de resistência térmica.

Então, para a superfície 2 , teremos:

q ' = T 2 - T ∞ R t o t '

E, essa resistência total pode ser escrita como a soma da resistência de condução e a de convecção, então, temos:

R t o t ' = ln ⁡ r 3 r 2 2 π k g + 1 2 π r 3 h

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R t o t ' = ln ⁡ 14 11 2 π 3 + 1 2 π 0,014 2000

R t o t ' = 0,0185   m . K / W

E, agora, o fluxo de energia gerada por unidade de comprimento será a energia gerada no elemento combustível multiplicada pela área. Dessa forma, teremos:

q ' = q ˙ A = q ˙ π r 2 2 - r 1 2 = 10 8 π 0,011 2 - 0,008 2

q ' = 17907,1   W / m

Então, substituindo os valores encontrados na primeira equação do passo 1, temos:

q ' = T 2 - T ∞ R t o t '

→ 17907,1 = T 2 - 600 0,0185

Isolando T 2 :

T 2 = 931,3   K

Passo 3

Agora, como nós não temos fluxo de calor na superfície interna do elemento combustível, podemos escrever a equação para o perfil de temperatura conforme vimos nessa seção. Então, teremos:

T = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 2 r 2 2 - q ˙ r 2 2 k t ln ⁡ r 2 r

E para descobrir a temperatura no ponto 1 , vamos fazer r = r 1 :

T 1 = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 1 2 r 2 2 - q ˙ r 1 2 2 k t ln ⁡ r 2 r 1

E substituindo os valores conhecidos, temos:

T 1 = 931,3 + 10 8 0,011 2 4 57 1 - 0,008 2 0,011 2 - 10 8 0,008 2 2 57 ln ⁡ 0,011 0,008

T 1 = 931,3 + 25 - 17,88

T 1 = 938,4   K

Passo 4

Agora, para a letra (b), nós vamos partir da EDO radial com geração volumétrica:

1 r d d r r d T d r + q ˙ k t = 0 ,

Então, a solução que satisfaz a condição de fluxo nulo em r 1 ​ é

T r = T 2 + q ˙ 4 k t r 2 2 - r 2 + q ˙ r 1 2 2 k t ln ⁡ r r 2

Que também pode ser escrita na forma:

T r = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 2 r 2 2 - q ˙ r 1 2 2 k t ln ⁡ r r 2

E, utilizando alguns valores de q ˙ , chegamos nos seguintes perfis de temperatura:

Passo 5

Para determinar o valor máximo permissível para q ˙ , precisamos limitar T 1 a um valor T m á x :

T 1 = T ∞ + q ˙ A ' R t o t ' + r 2 2 - r 1 2 4 k t + r 1 2 2 k t ln ⁡ r 1 r 2 ,

Onde A ' = π r 2 2 - r 1 2 . Assim, vamos ter:

q ˙ m á x = T m á x - T ∞ A ' R t o t ' + r 2 2 - r 1 2 4 k t + r 1 2 2 k t ln ⁡ r 1 r 2  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a)   T 2 = 931,3   K ,   T 1 = 938,4   K

b) T r = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 2 r 2 2 - q ˙ r 1 2 2 k t ln ⁡ r r 2 , q ˙ m á x = T m á x - T ∞ A ' R t o t ' + r 2 2 - r 1 2 4 k t + r 1 2 2 k t ln ⁡ r 1 r 2  

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