Enunciado

Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (k ≈ 57 W/(m · K)) encontra-se envolto em grafite (k ≈ 3 W/(m · K)) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de T ∞ = 600 K e o coeficiente convectivo na superfície externa do grafite é de h = 2000 W/(m² · K).

(a) Se energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustível a uma taxa q ˙ = 10 8   W / m 3 , quais são as temperaturas T 1 e T 2 nas superfícies interna e externa, respectivamente, do elemento combustível?

(b) Calcule e represente a distribuição de temperaturas na parede composta para valores selecionados de q ˙ . Qual é o valor máximo permissível para q ˙ ?

Passo 1

Beleza! Para encontrar a temperatura nas superfícies 1 e 2, nós vamos utilizar o conceito de resistência térmica. Então, para a superfície 2, teremos:

q ' = T 2 - T ∞ R t o t '

E, essa resistência total pode ser escrita como a soma da resistência de condução e a de convecção, então, temos:

R t o t ' = ln ⁡ r 3 r 2 2 π k g + 1 2 π r 3 h

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R t o t ' = ln ⁡ 14 11 2 π 3 + 1 2 π 0,014 2000 → R t o t ' = 0,0185   m . K / W

E, agora, o fluxo de energia gerada por unidade de comprimento será a energia gerada no elemento combustível multiplicada pela área. Dessa forma, teremos:

q ' = q ˙ A = q ˙ π r 2 2 - r 1 2 = 10 8 π 0,011 2 - 0,008 2 → q ' = 17907,1   W / m

Então, substituindo os valores encontrados na primeira equação do passo 1, temos:

q ' = T 2 - T ∞ R t o t ' → 17907,1 = T 2 - 600 0,0185 → T 2 = 931,3   K

Passo 2

Agora, como nós não temos fluxo de calor na superfície interna do elemento combustível, então, podemos escrever a equação para o perfil de temperatura conforme vimos nessa seção, então, teremos:

T = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 2 r 2 2 - q ˙ r 2 2 k t ln ⁡ r 2 r

Então, para descobrir a temperatura no ponto 1, vamos fazer r = r 1 e substituir os valores conhecidos:

T 1 = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 1 2 r 2 2 - q ˙ r 1 2 2 k t ln ⁡ r 2 r 1

T 1 = 931,3 + 10 8 0,011 2 4 57 1 - 0,008 2 0,011 2 - 10 8 0,008 2 2 57 ln ⁡ 0,011 0,008

T 1 = 931,3 + 25 - 17,88 → T 1 = 938,4   K

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós vamos utilizar a equação para o perfil de temperatura descrita no passo 2:

T r = T 2 + q ˙ r 2 2 4 k t 1 - r 2 r 2 2 - q ˙ r 2 2 k t ln ⁡ r 2 r

E, utilizando alguns valores de q ˙ , chegamos nos seguintes perfis de temperatura:

Resposta

a :   T 2 = 931,3   K

a :   T 1 = 938,4   K

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