Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 7.Problemas - Ex. 22

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desse livro

A energia liberada durante uma explosão, E , é uma função do tempo t após a detonação, do raio R da explosão no tempo t , e da pressão do ar ambiente p , e de sua massa específica ρ . Determine, por meio da análise dimensional, a forma geral da expressão para E em função das outras variáveis.

Passo 1

Vamos começar usando o Teorema Pi de Buckingham!

Vamos começar separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

E t R p ρ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

E t R p ρ

M L 2 t 2 t L M L t 2 M L 3

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = E * ρ a * t b * R c

M L 2 t 2 * M L 3 a * t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   1 + a = 0

L : 2 - 3 a + c = 0

t : - 2 - b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = 2 c = - 5

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = E * ρ a * t b * R c

Π 1 = E * ρ - 1 * t 2 * R - 5

Π 1 = E t 2 ρ R 5

Show! Esse já foi!

Passo 5

Agora é só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = p * ρ a * t b * R c

M L t 2 * M L 3 a * t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M : 1 + a = 0

L : - 1 - 3 a + c = 0

t : - 2 - b = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = 2 c = - 2

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = p * ρ a * t b * R c

Π 2 = p * ρ - 1 * t 2 * R - 2

Π 2 = p t 2 ρ R 2

Show!

Passo 6

Agora vamos expressar a função:

Π 1 = f Π 2

E t 2 ρ R 5 = f p t 2 ρ R 2

E = ρ R 5 t 2 f p t 2 ρ R 2

Uhul!! Arrasamos!!

Resposta

E = ρ R 5 t 2 f p t 2 ρ R 2

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