Enunciado

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Se um objeto for leve o suficiente, ele pode ser suportado sobre a superfície de um fluido pela tensão superficial. Testes devem ser realizados para investigar este fenômeno. O peso W , suportável desta forma, depende do perímetro do objeto, p , da massa específica do fluido, ρ , da tensão superficial, σ , e da aceleração da gravidade, g . Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Vamos precisar encontrar os grupos adimensionais, para isso é só a gente usar o Teorema Pi de Buckingham e arrasar nessa questão!

Começando separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

W p ρ g σ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

W p ρ g σ

M L t 2 L M L 3 L t 2 M t 2

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = W * g a * ρ b * p c

M L t 2 * L t 2 a * M L 3 b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   1 + b = 0

L : 1 + a - 3 b + c = 0

t : - 2 - 2 a = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 1 c = - 3

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = W * g a * ρ b * p c

Π 1 = W * g - 1 * ρ - 1 * p - 3

Π 1 = W g ρ p 3

Primeira parte, tudo certo!!

Passo 5

Agora é só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 1 = σ * g a * ρ b * p c

M t 2 * L t 2 a * M L 3 b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M : 1 + b = 0

L : a - 3 b + c = 0

t : - 2 - 2 a = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = - 1 c = - 2

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 1 = σ * g a * ρ b * p c

Π 1 = σ * g - 1 * ρ - 1 * p - 2

Π 2 = σ g ρ p 2

Que beleza! Arrasamos!

Resposta

Π 1 = W g ρ p 3 Π 2 = σ g ρ p 2

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