Enunciado

Um equipamento experimental para simular o núcleo de um reator nuclear é constituído por um longo tubo metálico com paredes delgadas, diâmetro D e comprimento L, que é aquecido eletricamente para produzir uma distribuição senoidal de fluxo térmico:

q " s x = q " 0 . sen ⁡ π x L

sendo x a distância medida da entrada do tubo. Um fluido, a uma temperatura de entrada T m ,   e n t , escoa através do tubo a uma vazão m ˙ . Admitindo que o escoamento seja turbulento e esteja plenamente desenvolvido ao longo de todo o comprimento do tubo, desenvolva expressões para:

  1. a taxa total de transferência de calor, q, do tubo para o fluido;
  2. a temperatura de saída do fluido, T m , s a i ;
  3. a distribuição axial das temperaturas na parede, T s ( x ) ;
  4. a magnitude e a posição da temperatura mais elevada na parede do tubo;
  5. Considere um tubo com 40 mm de diâmetro e 4 m de comprimento, com uma distribuição senoidal de fluxo térmico para a qual q " 0 =   10.000 W m 2 . O fluido escoando no tubo tem uma vazão mássica de 0,025 k g s , um calor específico de 4180 J k g K , uma temperatura na entrada de 25°C e um coeficiente de transferência de calor de 1000 W m 2 K . Represente graficamente as temperaturas média do fluido e superficial como funções da distância ao longo do tubo. Identifique características importantes dessas distribuições. Explore os efeitos de variações de ± 25% no coeficiente de transferência de calor e no fluxo térmico sobre essas distribuições.

Passo 1

Faaaaaaaaaaaaalaa galerinha!!

Bora continuar?!

Na letra (a) nós queremos achar a taxa total de transferência de calor, q, do tubo para o fluido!

De uma coisa nós sabemos:

q = ∫ 0 L q " s π D . d x

Substituindo q " s :

q = π D ∫ 0 L q " 0 . sen ⁡ π x L . d x

q = π D q " 0 - L π cos ⁡ π x L

q = - L D q " 0 . cos ⁡ π - cos ⁡ 0

q = 2 L D q " 0

A letra (a) está OK!!

Passo 2

A letra (b) nos pede a temperatura de saída do fluido, T m , s a i !

E para isso vamos usar outra relação bem conhecida:

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m , e n t

Isolamos o que queremos:

T m ,   s a i = T m , e n t + q m ˙ c p

Como o q nós já sabemos:

T m ,   s a i = T m , e n t + 2 L D q " 0 m ˙ c p

Animados para a (c)?!

Passo 3

Vamos achar agora a distribuição axial das temperaturas na parede, T s x !

Podemos usar a relação:

q " s = h   T s x - T m ( x )

Isolando T s x :

T s x = T m x + q " s h  

Igualando as equações para o calor dadas no Passo 1 e 2:

∫ 0 x q " s π D . d x = m ˙ c p T m ( x ) - T m , e n t

E substituindo q ” s :

T m x = T m , e n t + q " 0 π D m ˙ c p ∫ 0 x sen ⁡ π x L . d x

T m x = T m , e n t + q " 0 π D m ˙ c p L π - cos ⁡ π x L x 0

T m x = T m , e n t + q " 0 L D m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L

Substituindo na relação dada para T s x :

T s x = T m , e n t + q " 0 L D m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L + q " 0 h . sen ⁡ π x L

Passo 4

Agora vamos para a letra (d)!!

Aqui nós queremos a magnitude e a posição da temperatura mais elevada na parede do tubo!

A temperatura máxima é obtida quando:

d T s x d x = 0

Derivando:

d T s x d x = q " 0 L D m ˙ c p π L sen ⁡ π x L + q " 0 h π L cos ⁡ π x L = 0

tg ⁡ π x L = - m ˙ c p h L D

π x L = t g - 1 - m ˙ c p h L D

x = L π t g - 1 - m ˙ c p h L D

Então a temperatura máxima ocorre quando o x assume este valor !!

Passo 5

E finalizamos com a letra (e) !!

Sabendo que:

D = 40   m m

L = 4   m

q " 0 =   10.000 W m 2

m ˙ = 0,025 k g s

c p = 4180 J k g K

T m , e n t = 25 ° C

h = 1000 W m 2 K

Lembrando que:

T m x = T m , e n t + q " 0 L D m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L

T s x = T m x + q " 0 h . sen ⁡ π x L

Variando x:

Colocando nossos resultados no gráfico:

Mas ainda não acabamos, devemos observar os efeitos que ocorrem quando variamos o coeficiente convectivo em ± 25%.

Quando o coeficiente aumenta 25%, h = 12500 W m 2 K :

No gráfico:

E quando diminuímos 25%, h = 7 500 W m 2 K :

E seu gráfico:

E terminamos mais uma !

Resposta

  1. q = 2 L D q " 0 ;
  2. T m ,   s a i = T m , e n t + 2 L D q " 0 m ˙ c p ;
  3. T s x = T m , e n t + q " 0 L D m ˙ c p 1 - cos ⁡ π x L + q " 0 h . sen ⁡ π x L ;
  4. x = L π t g - 1 - m ˙ c p h L D ;
  5. C o m o   v i s t o   a c i m a .
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