Enunciado

Um escoamento de ar desenvolve-se em um duto horizontal cilíndrico, com diâmetro D = 400   m m , após uma seção de entrada bem arredondada. Uma camada-limite turbulenta cresce sobre a parede do duto, mas o escoamento ainda não está inteiramente desenvolvido. Considere que o perfil de velocidade na camada-limite é u U = y δ 1 7 . O escoamento de entrada é uniforme com U = 15   m / s na seção 1. Na seção 2, a espessura da camada limite sobre cada parede do duto é δ 2 = 100   m m . Avalie a pressão estática manométrica na seção 2, localizada em L = 6   m . Determine a tensão de cisalhamento média na parede.

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que vamos fazer aqui é escrever a equação da definição de espessura do deslocamento, equação 9.1 vista nesse capítulo, então, temos:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

Agora, vamos dividir os dois lados da equação pela espessura δ , teremos:

δ * δ = 1 δ ∫ 0 δ 1 - u U d y → δ * δ = ∫ 0 δ 1 - u U . d y δ

Agora vamos fazer uma mudança de varíavel, vamos chamar:

η = y δ → d η = d y δ

E, quando y → δ , η → 1 . E, sabendo que o perfil de potência é dado por:

η 1 7 = u U

Podemos reescrever nossa integral como:

δ * δ = ∫ 0 1 1 - η 1 7 d η

Resolvendo a integral, chegamos em:

δ * δ = η - 7 η 8 7 8 0 1

Substituindo os limites de integração, temos:

δ * δ = 1 - 7 8 - 0 → δ * δ = 1 8

Então, a espessura de deslocamento na saída será:

δ 2 * 0,1 = 1 8 → δ 2 * = 0,0125   m

Passo 2

Agora o que devemos fazer é aplicar o princípio da continuidade para o sistema. E nesse caso, como temos regime permamente e área transversal constante, teremos que a vazão na entrada é a mesma na saída, então podemos escrever:

U 1 A 1 = U 2 A 2 → U 1 π D 2 4 = U 2 π D - 2 δ 2 * 2 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos e encontrar a velocidade do fluido na saída:

15 π 0,4 2 4 = U 2 π 0,4 - 2 0,0125 2 4 → U 2 = 17,1   m / s

Passo 3

Agora para avaliar as pressões estáticas na entrada e na saída da seção de teste, nós iremos utilizar a equação de Bernoulli, que nos dá:

p 1 ρ + U 1 2 2 + z 1 = p 2 ρ + U 2 2 2 + z 2

No nosso caso, a diferença de cota entre os níveis da entrada e saída podem ser desprezados, então, teremos:

p 1 ρ + U 1 2 2 = p 2 ρ + U 2 2 2

E, escrevendo em função da diferença de pressão, temos:

p 1 - p 2 ρ = U 2 2 - U 1 2 2 → Δ p = ρ 2 U 2 2 - U 1 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Δ p = 1,23 2 17,1 2 - 15 2 → Δ p = 41,46   P a

Então, com a variação de pressão, podemos encontrar a pressão manométrica na saída através de:

p 2 = p 1 - Δ p = p a t m - Δ p

No entanto, como estamos interessados na pressão manométrica, então podemos fazer p 1 = 0 e obter a pressão manométrica em 2, onde teremos:

p 2 = 0 - Δ p = 0 - 41,46 → p 2 = - 41,46   P a

Passo 4

Agora vamos aplicar a equação do equilíbrio de momento para o sistema na direção x , então, teremos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, não temos força de campo atuando na direção x , então teremos F B x = 0 . As forças de superfície atuando no sistema são as forças de cisalhamento e a força de pressão. E, como temos regime permanente, a derivada parcial no tempo será zero, então a equação acima se torna:

Δ p A 1 - τ π D L = U 1 - ρ U 1 A 1 + U 2 ρ U 2 A 2 + ρ ∫ D 2 - δ D 2 2 π r u 2 d r

Agora, vamos substituir as expressões conhecidas até o momento:

Δ p π D 2 4 - τ π D L = - ρ U 1 2 π D 2 4 + ρ U 2 2 π D - 2 δ 2 2 4 + 2 π ρ ∫ D 2 - δ D 2 U 2 y δ 2 1 7 r d r

Vamos lidar primeiro com essa integral. Agora, escrevendo o raio em função de y , temos:

r = D 2 - y → d r = - d y

E, para os intervalos de integração, teremos:

r → D 2 ,   y → 0

r → D 2 - δ 2 → y → δ 2

Então, vamos reescrever a integral acima em y :

2 π ρ ∫ D 2 - δ D 2 U 2 y δ 2 1 7 r d r → - 2 π ρ U 2 2 ∫ δ 2 0 D 2 - y y δ 2 2 7 d y = - 2 π ρ U 2 2 ∫ δ 2 0 D y 2 7 2 δ 2 2 7 - y 9 7 δ 2 2 7 d y

Então, resolvendo a integral acima, temos:

- 2 π ρ U 2 2 7 D y 9 7 1 8 δ 2 2 7 - 7 y 16 7 16 δ 2 2 7 δ 2 0

Substituindo os limites de integração, chegamos em:

- 2 π ρ U 2 2 0 - 7 D δ 2 9 7 18 δ 2 2 7 - 7 δ 2 16 7 16 δ 2 2 7 = π ρ U 2 2 7 D δ 2 9 - 7 δ 2 2 8 = 7 π ρ U 2 2 δ 2 D 9 - δ 2 8

Passo 5

Então, agora, vamos substituir essa expressão na equação obtida no passo 4, então, temos:

Δ p π D 2 4 - τ π D L = - ρ U 1 2 π D 2 4 + ρ U 2 2 π D - 2 δ 2 2 4 + 2 π ρ ∫ D 2 - δ D 2 U 2 y δ 2 1 7 r d r

Δ p π D 2 4 - τ π D L = - ρ U 1 2 π D 2 4 + ρ U 2 2 π D - 2 δ 2 2 4 + 7 π ρ U 2 2 δ 2 D 9 - δ 2 8

Então, substituindo os valores conhecidos nessa expressão, conseguimos obter o valor da tensão de cisalhamento:

41,46 π 0,4 2 4 - τ π 0,4 6 = - 1,23 15 2 π 0,4 2 4 + 1,23 17,1 2 π 0,4 - 2 0,1 2 4 + 7 π 1,23 17,1 2 0,1 0,4 9 - 0,1 8

5,21 - 7,54 τ = - 34,777 + 11,299 + 25,266 → τ = 0,454   N / m 2

Resposta

p 2 = - 41,46   P a

τ = 0,454   N / m 2

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