Enunciado

O escoamento de óleo em um mancal pode ser tratado como escoamento paralelo entre duas grandes placas isotérmicas com uma placa que se desloca a uma velocidade constante de 8 m/s e a outra estacionária. Considere o escoamento uniforme com espaçamento de 0,7 mm entre as placas. As temperaturas superior e inferior das placas são 40°C e 15°C, respectivamente. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, determine (a) distribuições de velocidade e temperatura do óleo, (b) temperatura máxima e onde ela ocorre e (c) fluxo de calor a partir do óleo para cada placa.

Passo 1

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Assumindo que o escoamento é paralelo às placas, v = 0 . Então:

δ u ∂ x = 0

u = u ( y )

Prosseguindo para a equção da quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido ao gradiente de pressão, ∂ P ∂ x = 0 .

Portanto:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Integrando em y:

∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

∂ u ∂ y = C 1

Integrando novamente:

∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

u = C 1 y + C 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

u 0 = 0

u L = 8   m / s

Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

0 = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 0

8 = C 1 x L + 0 → C 1 = 8 L

O perfil de velocidade é:

u y = 8 L y

Agora vamos para a equação de balanço de energia:

ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

∂ T ∂ x = 0

v ∂ T ∂ y = 0

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Portanto ficamos com:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2 )

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y ( 8 y L )

∂ u ∂ y = 8 L

Substituindo no balanço de energia:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 8 L 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 64 L 2

∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ 64 k L 2

Integrando em y :

∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ 64 k L 2 d y

∂ T ∂ y = -   μ 64 k L 2 y + C 1

Integrando em y mais uma vez:

∫ ∂ T ∂ y d y = - ∫ ( μ 64 k L 2 y + C 1 ) d y

T y = - μ 32 k L 2 y 2 + C 1 y + C 2

Vamos aplicar as condições de contorno para definir as constantes C 1 e C 2 . Para a temperatura sabemos que:

T 0 = 40 ° C

T L = 15 ° C

Então:

40 ° C = - μ 32 k L 2 0 2 + C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 40 ° C

15 ° C = - μ 32 k L 2 L 2 + C 1 x L + 40

25 = μ 32 k + C 1 x L

25 - μ 32 k L = C 1

Substituindo C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

T y = 40 - μ 32 k L 2 y 2 + 25 - μ 32 k y L  

T y = 40 +   μ 32 k L y - y 2 L - 25 y L

T y = 40 +   μ 32 y k L 1 - 2 y L - 25 y L

Passo 2

Com o perfil de temperatura em mãos podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função f ( y ) são pontos em que a derivada ∂ f ∂ y = 0 . Então, o que vamos fazer é derivar T ( y ) em relação a y e igualar a zero.

∂ T ∂ y = ∂ ∂ y 40 +   μ 32 k L y - y 2 L - 25 y L = 0

μ 32 k L 1 - 2 y L - 25 L = 0

μ 32 k L 1 - 2 y L = 25 L

1 - 2 y L = 25 k 32 μ

1 - 25 k 32 μ = 2 y L

y = L 2 1 - 25 k 32 μ

Encontramos a posição y em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:

T y = 40 +   μ 32 k L L 2 1 - 25 k 32 μ 1 - 2 L L 2 1 - 25 k 32 μ - 25 L 1 - 25 k 32 μ 2 L

T y = 40 + 16 μ k 1 - 25 k 32 μ 1 - 1 - 25 k 32 μ - 25 2 1 - 25 k 32 μ

T y = 40 + 16 μ k 1 - 25 k 32 μ 25 k 32 μ - 25 2 1 - 25 k 32 μ

T y = 40 + 16 μ k 25 k 32 μ - 625 k 2 1024 μ 2 - 25 2 + 625 k 64 μ

T y = 40 + 25 2 - 625 k 64 μ - 25 2 + 625 k 64 μ

T y = 40 ° C

Passo 3

Nosso último passo é calcular o fluxo de calor em cada parede. Sabemos que a camada de fluido e contato com a parede tem a mesma velocidade que ela. Como não há diferença de velocidade o fluxo de calor ocorre por condução. Vamos para a primeira parede ( y = 0 ):

q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0

Já calculamos a derivada de T em relação a y para descobrir o ponto de máximo. Vamos então substituir a expressão que encontramos:

q ˙ y = 0 = - k μ 32 k L 1 - 2 y L - 25 L y = 0

q ˙ y = 0 = - μ 32 L + 25 k L

Na parede y = 0 a temperatura é de 40°C. Vamos então buscar as propriedades do óleo de motor nesta temperatura:

k 40 ° C = 0,1444   W / m K

μ 40 ° C = 0,2177   k g / m s

Substituindo na expressão do fluxo:

q ˙ y = 0 = - 0,2177 x 32 0,7 x 10 - 3 + 25 x 0,1444 0,7 x 10 - 3

q ˙ y = 0 = - 4,8 x 10 3 W / m 2

Agora vamos repetir o procedimento para a parede y = L :

q ˙ y = L = - k ∂ T ∂ y y = L

q ˙ y = L = - k μ 32 k L 1 - 2 y L - 25 L y = L

q ˙ y = L = μ 32 L + 25 k L

Na parede y = L o óleo está a 15°C. As propriedades do material nesta temperatura são:

k 15 ° C = 0,1455   W / m K

μ 15 ° C = 1,5816   k g / m s

Substituindo as propriedades na equação de condução:

q ˙ y = L = 1,5816 x 32 0,7 x 10 - 3 + 25 x 0,1455 0,7 x 10 - 3

q ˙ y = L = 7,75 x 10 4 W / m 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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