Enunciado

Seja o perfil de velocidade na camada-limite de velocidade sobre uma placa plana representado por u = C 1 + C 2 y . Utilizando condições de contorno apropriadas, obtenha uma expressão para o perfil de velocidades em termos da espessura da camada-limite δ e da velocidade na corrente livre u ∞ . Usando a forma integral da equação do momento na camada-limite (Apêndice G), obtenha expressões para a espessura da camada-limite e para o coeficiente de atrito local, expressando o seu resultado em termos do número de Reynolds local. Compare os seus resultados com aqueles obtidos com a solução exata (Seção 7.2 . 1 ) e pela solução integral com um perfil cúbico (Apêndice G).

Passo 1

A primeira coisa que o exercício nos pede é para encontrar a expressão para o perfil de velocidade. Para isso, vamos começar definindo quais são as condições de contorno para o problema. Tudo bem?

Pelo princípio da aderência, a camada de fluido em contato com a placa assume a velocidade da placa. Como a placa está parada, a velocidade em y = 0 é u 0 = 0 .

A partir da espessura da camada limite, o fluido deixa de sofrer interferência da placa e atinge a velocidade da corrente livre. Então, nossa segunda condição de contorno é u δ = u ∞ . Aplicando as duas condições no perfil:

u = C 1 + C 2 y

u 0 = 0 = C 1 + C 2 × 0 → C 1 = 0

u δ = u ∞ = 0 + C 2 δ → C 2 = u ∞ δ

O nosso perfil de velocidade é:

u = u ∞ y δ

Passo 2

Nosso próximo passo será aplicar a equação de quantidade de movimento:

u d u d x + v d u d y = ϑ d 2 u d y 2

Considerando que não temos escoamento na direção y → v = 0 . Então:

u d u d x = ϑ d 2 u d y 2

u d u d x = μ ρ d d y d u d y

u d u d x = 1 ρ d d y μ d u d y

Substituindo τ s = μ d u d y :

u d u d x = 1 ρ d d y τ s

Se escrevermos

u = d u 2 2 d u

u d u = d u 2 2

Ficamos com:

d d x u 2 2 = 1 ρ d d y τ s

d d x u 2 2 d y = 1 ρ d τ s

d d x ∫ 0 δ u 2 2 d y = 1 ρ ∫ d τ s

Substituindo o perfil de velocidade:

d d x ∫ 0 δ u ∞ y 2 δ u ∞ y δ d y = τ s ρ

u ∞ 2 d d x ∫ 0 δ y 2 2 δ 2 d y = τ s ρ

u ∞ 2 d d x y 3 6 δ 2 0 δ = τ s ρ

u ∞ 2 d d x δ 6 = τ s ρ

Passo 3

Antes de continuar, vamos eencontrar uma nova função para τ s . A tensão de atrito na superfície é descrita como:

τ s = μ d u d y y = 0

τ s = μ d d y u ∞ y δ y = 0

τ s = μ u ∞ δ

Substituindo na equação anterior:

u ∞ 2 d d x δ 6 = τ s ρ

u ∞ 2 d d x δ 6 = μ u ∞ ρ δ

u ∞ 6 d d x δ = ϑ δ

δ d δ = 6 ϑ u ∞ d x

Integrando:

∫ 0 δ δ d δ = 6 ϑ u ∞ ∫ 0 x d x

δ 2 2 = 6 ϑ u ∞ x

δ 2 = 12 ϑ u ∞ x x 2

Para uma placa plana, o número de Reynolds é expresso como:

R e x = u ∞ x ϑ

Então:

δ 2 = 12 R e x - 1 x 2

δ = 12 R e x - 1 / 2 x

Passo 4

Por fim, precisamos encontrar a expressão para o coeficiente de atrito local. Para isso, vamos partir da equação da tensão de cisalhamento que encontramos antes. Lembra dela? Ela era:

τ s = μ u ∞ δ

Se substituirmos a relação de espessura da camada limite:

τ s = μ u ∞ 12 R e x - 1 / 2 x

τ s = 1 12 μ u ∞ x R e x 1 / 2

O próximo passo será utilizar esta relação para obter o coeficiente de atrito. Pela definição de tensão de cisalhamento:

τ s = C f , x ρ u ∞ 2 2

C f , x = 2 τ s ρ u ∞ 2

C f , x = 2 ρ u ∞ 2 1 12 μ u ∞ x R e x 1 / 2

C f , x = 2 12 μ ρ u ∞ x R e x 1 / 2

C f , x = 2 12 ϑ u ∞ x R e x 1 / 2

C f , x = 2 12 1 R e x R e x 1 / 2

C f , x = 2 12 R e x - 1 / 2

Comparando com as equações da seção 7.2 . 1 :

δ = 4,96 x R e x - 1 / 2

C f , x = 0,664 R e x - 1 / 2

E com a solução de perfil cúbico do apêndice G:

δ = 4,64 x R e x - 1 / 2

C f , x = 0,646 R e x - 1 / 2

Podemos ver que chegamos em relações semelhantes, já que a espessura da camada limite e o coeficiente de atrito local são funções de R e x - 1 / 2 , porém, com valores absolutos um pouco menores:

12 = 3,464

2 12 = 0,577

Resposta

u = u ∞ y δ

δ = 12 R e x - 1 / 2 x

C f , x = 0,646 R e x - 1 / 2

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