Enunciado

Uma placa plana, com largura de 1   m , é mantida a uma temperatura superficial uniforme de T s = 150 ° C pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10   m m e comprimento b = 50   m m , que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior. Ar atmosférico a 25 ° C escoa sobre a superfície da placa a uma velocidade de 30   m / s . As propriedades termofísicas dos módulos são k = 5,2   W / m K , c p = 320   J / k g K e ρ = 2300   k g / m 3 .

(a) Determine a geração de energia necessária, q ˙ ( W / m 3 ) , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

(b) Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

Passo 1

No item (a) devemos determinar a energia gerada pelo módulo a 700   m m de distância do início da placa. Para começar, vamos aplicar um balanço de energia para a superfície do módulo em contato com o ar:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

Assumindo regime permanente e que só há perda de energia por convecção, ficamos com:

0 = 0 - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

E ˙ g e r = E ˙ s a í d a

q ˙ V = h A ( T s - T ∞ )

q ˙ a b Z = h b Z ( T s - T ∞ )

q ˙ a = h ( T s - T ∞ )

Precisamos então, determinar o coeficiente convectivo h para a região em que o módulo está inserido. Tudo bem?

Para escolher a correlação mais adequada, vamos começar verificando o regime de escoamento. Para isso, vamos calcular o número de Reynolds:

R e x = u ∞ x ϑ

Mas antes, precisaremos das propriedades do ar na temperatura de filme. Então:

T f = T s + T ∞ 2

T f = 25 + 150 2 = 175 2

T f = 87,5   ° C ≈ 360   K

Nesta temperatura, pela tabela A-4 do apêndice A temos que:

k = 0,0308   W / m K

ϑ = 22,06 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,698

Passo 2

Voltando para o cálculo do número de Reynolds:

R e x = u ∞ x ϑ

R e x = 30 × 700 × 10 - 3 22,06 × 10 - 6

R e x = 9,5 × 10 5

Para placa plana, R e x > 5 × 10 5 indica que o regime de escoamento é turbulento.

Continuando, como o regime é turbulento, é razoável fazermos a aproximação:

h = h x -

em que

x - = L + b + L 2

x - = L + b 2

x - = 700 × 10 - 3 + 5 0 × 10 - 3 2 = 725 × 10 - 3   m

É a distância média entre o início e o fim do módulo da aresta da placa. Recalculando o número de Reynolds:

R e x = u ∞ x ϑ

R e x = 30 × ( 725 × 10 - 3 ) 22,06 × 10 - 6

R e x = 9,86 × 10 5

A correlação para o coeficiente convectivo local para uma placa plana, em regime turbulento é:

h x x k = 0,0296 R e 4 / 5 P r 1 / 3

h x x - k = 0,0296 9,86 × 10 5 4 / 5 ( 0,698 ) 1 / 3

h x x - k = 1638

h x = k x - 1638

h x = 0,0308 725 × 10 - 3 × 1638

h x = 69,6   W / m K

Vamos agora aplicar este valor na nossa equação do balanço de energia.

q ˙ a = h ( T s - T ∞ )

q ˙ ( 10 × 10 - 3 ) = 69,6 × ( 150 - 25 )

q ˙ = 69,6 × 150 - 25 10 × 10 - 3

q ˙ = 8,7 × 10 5   W / m 3

Passo 3

Vamos para o item (b). Devemos encontrar a temperatura máxima do módulo. Sabemos que a parede inferior é isolada, então não há fluxo de condução através dela. Certo?

q 0 = - k d T d y y = 0 = 0

d T d y y = 0 = 0

Então, sabemos que o ponto em que ocorre a máxima temperatura é em y = 0 .

Na seção 3 do livro temos que o perfil de temperaturas para uma placa plana com geração de energia é:

T = q ˙ a 2 2 k 1 - y 2 a 2 + T s

Então:

T 0 = T m á x = q ˙ a 2 2 k 1 - 0 a 2 + T s

T m á x = q ˙ a 2 2 k + T s

T m á x = 8,7 × 10 5 × ( 10 × 10 - 3 ) 2 2 × 5,2 + 150

T m á x = 15 8,4   ° C

Resposta

(a) q ˙ = 8,7 × 10 5   W / m 3 .

(b) T m á x = 158,4   ° C .

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