Enunciado

Para escoamento permanente com baixos números de Reynolds (laminar) através de um tubo longo, a distribuição de velocidades axiais é dada por u = C R 2 - r 2 , em que R é o raio do tubo e r ≤ R . Integre u ( r ) para encontrar a vazão volumétrica total Q do escoamento através do tubo.

Passo 1

Então coleguinha... temos aqui basicamente um exercício de cálculo 2 hahahaha

A grande pergunta é: “Como raios a gente faz uma integral mesmo??”

Calma lá! É muito tranquilo!

Passo 2

Bom, a vazão ela é o que? A velocidade vezes a área, certo? Então se você se lembrar:

Q = ∫ u r d A = ∫ u r 2 π r   d r

Lembre-se:

A = π r 2 → d A = 2 π r

Então fica muito fácil:

Q = ∫ 0 R C R 2 - r 2 2 π r   d r

Passo 3

Teremos então:

Q = ∫ 0 R 2 π C R 2 r   d r - ∫ 0 R 2 π C   r 3 d r

Logo,

Q = π C R 2 r 2 - r 4 2 0 R

E finalmente:

Q = π C R 4 2

E isso é tudo!!

Resposta

Portanto:

Q = ∫ u r d A = π C R 4 2

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