Enunciado

No escoamento turbulento de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades é dado pela equação v = v m á x 1 - r R 1 / 7 , onde todas as grandezas têm o mesmo significado do Exercício 3.1 . Verificar que v m / v m á x = 49 / 60 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte equação que relaciona a velocidade média com uma possível velocidade máxima:

v m A = ∫ v ⋅ d A

Aplicando ao problema, temos que:

A = π R 2

v m π R 2 = ∫ v m á x 1 - r R 1 / 7 d A

E:

d A = 2 π r d r

Logo:

v m π R 15 7 = ∫ v m a x R - r 1 7 2 π r d r

Passo 2

Separando as constantes, temos que:

v m R 15 7 = 2 v m a x ∫ 0 R R - r 1 7 r d r

Vamos chamar:

u = R - r

E:

d u = - d r

Substituindo, temos que:

v m R 15 7 = 2 v m a x ∫ R 0 u 1 7 R - u ( - d u )

v m R 15 7 = 2 v m a x ∫ 0 R u 1 7 R - u ( d u )

Passo 3

Portanto teremos as seguintes integrais:

v m R 15 7 = 2 v m a x R ∫ 0 R u 1 7 d u + ∫ 0 R u 8 7 d u

Resolvendo, temos que:

v m R 15 7 = 2 v m a x 7 R 15 7 8 - 7 R 15 7 15

Logo:

v m = 2 v m a x 7 8 - 7 15

v m = 49 60 v m a x

Resposta

v m = 49 60 v m a x

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