Enunciado

Estenda o Problema P3.90 par ao caso do movimento de um líquido em um tubo U, sem atrito, cuja coluna líquida é deslocada a uma distância Z para cima e então liberada, como na Figura P3.96. Despreze o curto trecho horizontal e combine as análises de volume de controle para os ramos da esquerda e da direita, deduzindo uma equação diferencial única para V ( t ) da coluna líquida.

Passo 1

Bora pra essa!

Bora fazer uma análise de movimento ai, primeiro começaremos pela perna da esquerda, assim:

∑ F b a i x o - ∫ a r e l a t i v a d m = p a t m - p 1 A + ρ g A h 1 - m 1 d V d t = 0  

Da perna da direita, teremos:

∑ F c i m a - ∫ a r e l a t i v a d m = p 1 - p a t m A - ρ g A h 3 - m 2 d V d t = 0

Ao somarmos as duas, o termo de pressão vai sumir, substituiremos as alturas da seguinte forma:

ρ g A h 1 - h 3 = ρ g A 2 Z = m 1 + m 2 d V d t = ρ A h 1 + h 3 d V d t = ρ A L d V d t = 0

Passo 2

Olha só, se a gente fizer:

V = - d Z d t

Vamos chegar em:

d 2 Z d t 2 + 2 g L Z = 0

Se a gente resolver essa equação diferencial, vamos chegar em uma oscilação harmônica simples, olha:

Z = C cos ⁡ t 2 g L + D sen ⁡ t 2 g L  

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