Enunciado

Estenda o problema P3.96 para incluir o atrito na parede devido a uma tensão de cisalhamento média linear (laminar) na forma τ ≈ 8 μ V / D , em que μ é a viscosidade do fluido. Encontre a equação diferencial para d V / d t e depois resolva para V ( t ) , considerando um deslocamento inicial z = z 0 , V = 0 em t = 0 . O resultado deve ser uma oscilação amortecida tendendo a z = 0 .

Passo 1

Bora fazer essa ai!

Do problema anterior tivemos que, na perda esquerda:

∑ F b a i x o - ∫ a r e l a t i v a d m = p a t m - p 1 A + ρ g A h 1 - m 1 d V d t = 0  

Da perna direita:

∑ F c i m a - ∫ a r e l a t i v a d m = p 1 - p a t m A - ρ g A h 3 - m 2 d V d t = 0

Ao adicionar os termos de atrito, teremos, na perna esquerda e direita, respectivamente:

∑ F b a i x o - ∫ a r e l a t i v a d m = p a t m - p 1 A + ρ g A h 1 - τ π D h 1 - m 1 d V d t = 0

∑ F c i m a - ∫ a r e l a t i v a d m = p 1 - p a t m A - ρ g A h 3 - τ π D h 3 - m 2 d V d t = 0

Passo 2

Somando as duas equações, as pressões irão se cancelar, chegaremos em:

ρ g A h 1 - h 3 - τ π D h 1 + h 3 - d V d t m 1 + m 2 = 0

Tendo A = π D 2 4 e V = - d Z d t , teremos:

d 2 Z d t 2 + 4 τ ρ D + 2 g L Z = 0

onde, τ = 8 μ V / D .

Passo 3

Passo 4

Notemos que o termo de cisalhamento é a mesma equação do amortecimento linear dada por:

32 μ ρ D 2 d Z d t

Utilizando as condições inicias dadas e resolvendo a equação, teremos:

Z = Z 0 e - t / ζ cos ⁡ ( ω t )

onde,

ζ = ρ D 2 16 μ

e,

ω 2 g / L

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