Enunciado

Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico no centro, é usada em testes para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera são 0,18 e 0,21   m , respectivamente, e o teste é feito em condições de estado estacionário com a superfície interna do alumínio mantida a 250 ℃ . Em um teste particular, uma casca esférica de isolamento é fundida na superfície externa da esfera com uma espessura de 0,15   m . O sistema está em uma sala para a qual a temperatura do ar é de 20 ℃ e o coeficiente de convecção na superfície externa do isolamento é de 30   W / m 2 ⋅ K . Se 80   W forem dissipados pelo aquecedor em condições de estado estacionário, o que é a condutividade térmica do isolamento?

Passo 1

Fala Pessoal!! Bora fazer essa questão comigo!!

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condições de estado estacionário.

(2) Condução radial unidimensional.

(3) Propriedades constantes.

(4) Resistência de contato insignificante.

(5) Troca de radiação insignificante na superfície externa.

Os dados fornecidos foram:

Raio interno da esfera: r 1 = 0,18   m

Raio externo da esfera: r 2 = 0,21   m

Espessura do isolamento: e = 0,15   m

Raio externo: r 3 = 0 , 36   m

Temperatura na superfície interna: T 1 = 250 ℃ = 523   K

Temperatura do ar ambiente: T ∞ = 20 ℃ = 293   K

Coeficiente convectivo na superfície externa do isolamento: h = 30   W / m 2 ⋅ K

Calor dissipado: q = 80   W

Propriedades:

Pela Tabela A-1 a T = 523 K

Condutividade térmica do Alumínio: k A l = 230   W / m ⋅ K

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos fazer um circuito térmico que representa a condução de calor no sistema. O circuito tem a seguinte forma:

Do circuito térmico, podemos escrever o seguinte:

q = T 1 - T ∞ R t o t

q = T 1 - T ∞ 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π k A l + 1 / r 2 - 1 / r 3 4 π k + 1 h 4 π r 3 2

Como nós queremos a condutividade térmica do isolamento, podemos isolado da seguinte forma:

q 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π k A l + 1 / r 2 - 1 / r 3 4 π k + 1 h 4 π r 3 2 = T 1 - T ∞

q 1 / r 2 - 1 / r 3 4 π k = T 1 - T ∞ - q 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π k A l + 1 h 4 π r 3 2

k = q 1 / r 2 - 1 / r 3 4 π T 1 - T ∞ - q 1 / r 1 - 1 / r 2 4 π k A l + 1 h 4 π r 3 2

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

k = 80   W 1 / 0,21   m - 1 / 0 , 36   m 4 π 523   K - 293   K - 80   W 1 / 0,18   m - 1 / 0,21   m 4 π 230   W / m ⋅ K + 1 4 π 30   W / m 2 ⋅ K 0 , 36   m 2

k = 0,0553   W / m ⋅ K  

Portanto, a condutividade térmica do isolamento é 0,0553   W / m ⋅ K   .

Resposta

k = 0,0553   W / m ⋅ K  

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