Enunciado

Use a análise de condução alternativa da Seção 3.2 para derivar uma expressão relacionando a taxa de calor radial, q r , às temperaturas da parede T s , 1 e T s , 2 , para o cilindro oco da Figura 3.7. Use sua expressão para calcular a taxa de transferência de calor associada a um cilindro de comprimento L = 2   m de raios interno e externo de r 1 = 50   m m e r 2 = 75   m m , respectivamente. A condutividade térmica da parede cilíndrica é k = 2,5   W / m ⋅ K , e as temperaturas da superfície interna e externa são T s ,   1 = 100 ℃ e T s , 2 = 67 ℃ , respectivamente.

Passo 1

Fala galera!! Vem comigo fazer mais uma questão!!

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

1. Condições de regime estacionário.

2. Condução unidimensional na direção x.

3. Não há geração de calor no interior do cone.

4. Propriedades constantes.

Os dados fornecidos foram:

Comprimento do Cilindro: L = 2   m

Raio interno do Cilindro: r 1 = 50   m m

Raio externo do Cilindro: r 2 = 75   m m

Temperatura da superfície interna: T s ,   1 = 100 ℃

Temperatura da superfície externa: T s , 2 = 67 ℃

Condutividade térmica da parede cilíndrica: k = 2,5   W / m ⋅ K

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos usar a ideia de que a condução de calor ocorre em condições unidimensionais, em estado estacionário, e não há geração interna de calor, a taxa de transferência de calor q r é uma constante independente de r . Dessa maneira, a forma apropriada da lei de Fourier, pode ser usada para determinar a distribuição de temperaturas

q r = - k A d T d r = - k 2 π r L d T d r

Reorganizando a equação acima, temos:

- q r 2 π L k d r r = d T

Integrando dentro dos limites de integração, temos o seguinte:

- q r 2 π L k ∫ r 1 r 2 d r r = ∫ T s ,   1 T s , 2 d T

- q r 2 π L k ln ⁡ r r 1 r 2 = T T s ,   1 T s , 2

- q r 2 π L k ln ⁡ r 2 - ln ⁡ r 1 = T s , 2 - T s ,   1

- q r 2 π L k ln ⁡ r 2 / r 1 = T s , 2 - T s ,   1

q r = - 2 π L k T s , 2 - T s ,   1 ln ⁡ r 2 / r 1

q r = 2 π L k T s ,   1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1

Passo 3

Usando a relação obtida no passo anterior, temos que a taxa de transferência de calor é a seguinte:

q r = 2 π L k T s ,   1 - T s , 2 ln ⁡ r 2 / r 1

q r = 2 π 2   m 2,5   W / m ⋅ K 100 ℃ - 67 ℃ ln ⁡ 75   m m / 50   m m

q r = 1278,44   W

Portanto, a taxa de transferência de calor é 1278,44   W .

Resposta

q r = 1278,44   W

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