Enunciado

Uma esfera pequena de ferro puro padrão, com calor específico de 447 J/(kg

· K) e massa de 0,515 kg, é subitamente imersa em uma mistura gelo-água. Finos fios de termopar mantêm a esfera suspensa. Observa-se que a sua temperatura varia de 15 para 14°C em 6,35 s. O experimento é repetido com uma esfera metálica de mesmo diâmetro, com composição desconhecida e massa de 1,263 kg. Com a mesma variação de temperatura observada ocorrendo em 4,59 s, qual é o calor específico do material desconhecido?

Passo 1

Vamos analisar a questão juntos pra entendermos o que você deve fazer para revolvê-la.

Segundo o enunciado, queremos encontrar o calor específico de um material desconhecido que é resfriado em água até uma mesma temperatura que uma esfera de ferro de mesmas dimensões.

Para entendermos o processo de transferência de calor que está acontecendo, devemos fazer um balanço de energia para a esfera, dessa forma:

E ˙ s a i =   - E ˙ a c ú m u l o   → q c o n v =   - m c d T d t

O que tiramos desse balanço é que a taxa de energia que migra da esfera para o banho de gelo por um mecanismo convectivo é igual à taxa de energia, expressa por - m c d T d t , que decai dentro da esfera.

Além disso, vamos nos atentar à expressão utilizada para calcular uma taxa de calor convectiva:

q c o n v = h A ( T - T ∞ )

Pela equação, sabemos que a taxa convectiva depende do coeficiente de transferência de calor h e das temperaturas da esfera e do fluido, que são iguais tanto para a situação da esfera de ferro quanto para a situação da esfera de material desconhecido. Além disso, o coeficiente também depende da área superficial A da esfera, que, segundo o enunciado, também é igual para as duas situações já que as esferas possuem as mesmas dimensões. Dessa maneira, temos que as taxas de transferência de convecção das esferas para o gelo em ambas as situações são iguais, e, portanto:

q c o n v , 1 =   q c o n v , 2   → m 1 c 1 d T d t 1 = m 2 c 2 d T d t 2

Antes de prosseguirmos com o Passo 2, vou deixar algumas grandezas dadas pelo enunciado e que vamos utilizar nos cálculos posteriores:

m 1 =   0,515   k g c 1 =     447   J / ( k g . K ) ∆ t 1 = 6,35   s m 2 =   1,263   k g ∆ t 2 = 4,59   s ∆ T = 14   ° C - 15   ° C = - 1   ° C

Passo 2

Agora, antes de realizarmos os cálculos, vamos definir uma aproximação para o gradiente de temperatura a partir das variações de temperatura e tempo:

d T d t   ≅ ∆ T ∆ t

Substituindo na expressão que deduzimos no Passo 1:

m 1 c 1 d T d t 1 = m 2 c 2 d T d t 2 → m 1 c 1 ∆ T ∆ t 1 =   m 2 c 2 ∆ T ∆ t 2

Isolando agora a capacidade calorífica do material desconhecido, obtemos:

c 2 = m 1 c 1 m 2 ∆ t 2 ∆ t 1  

Por fim, basta que a gente substitua as grandezas nessa expressão final:

c 2 = m 1 c 1 m 2 ∆ t 2 ∆ t 1 =   0,515   k g (   447   J / ( k g . K ) ) 1,263   k g 4,59   s 6,35   s = 131,75   J / ( k g . K )

Resposta

Como demonstrado no Passo 2, a capacidade calorífica do material desconhecido é c 2 = 131,75   J / ( k g . K ) .

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