Enunciado

Uma esfera de raio R está parcialmente imersa, a uma profundidade d, em um líquido com densidade relativa SG. Obtenha uma expressão algébrica para a força de empuxo atuando sobre a esfera como uma função da profundidade de submersão d . Plote os

resultados para um faixa de profundidade na água de 0   ≤   d   ≤   2 R .

Passo 1

Temos nesse problema uma esfera parcialmente imersa em um líquido de gravidade específica S G . Devemos encontrar uma expressão algébrica para a força de empuxo e plotar um gráfico de resultados.

Para isso, fazemos algumas considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atuando em todos os lugares.

Aplicaremos a seguinte equação hidrostática:

F = ρ g V d (a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado)

Passo 2

Começamos pelo diagrama de corpo livre:

Temos:

d = R ( 1 - cos ⁡ θ m a x )

h = d - R 1 - cos ⁡ θ

r = R sin ⁡ θ

Assim, precisamos de uma expressão para o volume deslocado de fluido em um h , em que a profundidade é d .

Então, se queremos encontrar o volume da parte submersa da esfera, calculamos:

V d = ∫ 0 θ π r 2 d h = π ∫ 0 θ R 2 sin ⁡ θ 2 R   s i n   θ d θ

= π R 3 ∫ 0 θ sin ⁡ θ 3 d θ

= π R 3 cos ⁡ θ m a x 3 3 - cos ⁡ θ m a x + 2 3

Mas, como o cos ⁡ θ m a x = 1 - d R , nós temos:

= π R 3 1 3 1 - d R 3 - 1 - d R + 2 3

Assim, a força flutuante será:

F = ρ S G g π R 3 1 3 1 - d R 3 - 1 - d R + 2 3

Passo 3

Portanto, o gráfico de resultados para um faixa de profundidade na água de 0   ≤   d   ≤   2 R , fica da seguinte forma:

Prontinho!!

Resposta

F = ρ S G g π R 3 1 3 1 - d R 3 - 1 - d R + 2 3

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