Enunciado

Uma bola sólida de alumínio (d = 2,7) com 7 cm de diâmetro e uma bola sólida de latão (d = 8,5) se equilibram perfeitamente quando submersas em um líquido, como mostra a Figura P2.108. (a) Se o fluido for água a 20° C, qual é o diâmetro da bola de latão? (b) Se a bola de latão tiver um diâmetro de 3,8 cm, qual é a massa específica do fluido?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nessa questão temos duas esferas, uma de alumínio, com diâmetro D A l = 7   c m   m densidade d A l   =   2,7 , e outra de latão, de densidade d l a t ã o   =   8,5 . As duas estão submersas no mesmo líquido, e se equilibram perfeitamente como mostra a figura do problema.

O enunciado pede que a gente descubra o diâmetro da bola de latão D l a t ã o para o caso do fluido ser água a 20   ° C e também a massa específica do fluido para o caso de D l a t ã o = 3,8   c m   .

Pra resolver a questão, precisamos lembrar apenas uma coisa: se ambas as esferas se equilibram quando estão submersas no líquido, então seus pesos aparentes são iguais.

A gente deve lembrar que o peso aparente é igual ao peso real do corpo menos a força devido ao empuxo. Dessa forma, teremos algo como:

W a p a r e n t e ,   A l = W a p a r e n t e , l a t ã o = W A l - E A l = W l a t ã o - E l a t ã o  

Lembrando, ainda, que como as esferas estão completamente submersas, os volumes deslocados pelos corpos serão iguais, e nosso balanço se torna:

d A l - d f l u i d o π 6 D A l ³ = d l a t ã o - d f l u i d o π 6 D l a t ã o ³

Nos próximos passos iremos resolver essa equação pras duas situações especificadas. Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Primeiro, iremos resolver a letra (a), onde iremos considerar o fluido onde as esferas estão submersas como água a 20 ° C e, portando d f l u i d o = 1,0 .

Substituindo este e os outros valores no balanço que fizemos no Passo 1, teremos:

2,7 - 1,0 π 6 ( 7   c m ) ³ = 8,5 - 1,0 π 6 D l a t ã o ³

D l a t ã o 3 = 77,746   c m ³

D l a t ã o = 4,27   c m

Passo 3

Pra finalizar a questão, iremos resolver a letra (b), onde iremos considerar D l a t ã o = 3,8   c m e onde iremos descobrir d f l u i d o .

Novamente,ubstituindo este e os outros valores no balanço que fizemos no Passo 1, teremos:

2,7 - d f l u i d o π 6 ( 7   c m ) ³ = 8,5 - d f l u i d o π 6 3,8   c m ³

16,88 - 6,25 d f l u i d o = 8,5 - d f l u i d o

5,25 d f l u i d o =   8,38

d f l u i d o =   1,596  

Para calcularmos a massa específica desse fluido, fazemos ρ f = d f l u i d o × ρ á g u a = 1,596 × 1000   k g / m ³ =   1596   k g / m ³ .

Se formos na Tabela A.3, “Propriedades dos líquidos comuns a 1 atm e 20°C”, na página 829, isso corresponde à massa específica do Tetracloreto de carbono.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) O diâmetro da bola de latão é D l a t ã o = 4,27   c m

(b) a massa específica desse fluido é ρ f =   1596 k g m 3 , que corresponde à massa específica do Tetracloreto de carbono

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