Enunciado

Estenda o Problema P3.13 da seguinte forma: (a) Use a equação de Bernoulli para calcular a elevação da superfície da água acima da saída do cone inferior. (b) Depois calcule o tempo necessário para a superfície da água cair 20 cm no tanque cilíndrico. Se você não conseguir resolver a parte (a), admita que a elevação inicial acima da saída seja de 52 cm. Despreze a possível contração e não uniformidade do jato de saída mencionado no Exemplo 3.21

Passo 1

Quando resolvermos o problema 3.13 encontramos que a velocidade de saída do fluido pelo cone inferior que foi V = 3,2 m s .

Agora, vamos aplicar Bernoulli entre um ponto na superfície da água no tanque (ponto 1) e um ponto na saída do cone (ponto 2):

p 1 + ρ 2 V 1 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 V 2 2 + ρ g z 2

A pressão na saída do cone e na superfície do tanque é a pressão atmosférica e vamos utilizar como referência para altura z 2 = 0 . Em 1 a velocidade é zero devido ao diâmetro do tanque. Sendo assim:

p a t m + ρ g z 1 = p a t m + ρ 2 V 2 2

g z 1 = V 2 2 2

z 1 = 0,52   m

Passo 2

Para resolvermos a letra “b” vamos precisar de equação diferencial. Sabemos que Q = A 2 * V 2 , porém a vazão pode ser expressa como Q = - d d t π 4 D t a n q u e 2 h f l u i d o , o sinal de menos representa que o volume no tanque está diminuindo e como sabemos que o diâmetro do tanque não varia como o tempo, escrevemos Q = - π 4 D t a n q u e 2 d h f l u i d o d t .

O termo referente a velocidade por ser escrito, a partir da equação de Bernoulli da letra “a”, como V = 2 g z 1 , e no caso z 1 é equivalente à altura do fluido ( z 1 = h f l u i d o ).

Logo:

Q = A 2 * V 2

- π 4 D t a n q u e 2 d h f l u i d o d t = π 4 D 2 2 * 2 g h f l u i d o

d h f l u i d o h f l u i d o = - D 2 2 2 g D t a n q u e 2 d t

Integrando os dois lados:

∫ 0,52 0,32 d h f l u i d o h f l u i d o = - D 2 2 2 g D t a n q u e 2 ∫ 0 t d t

2 0,32 - 0 , 5 2 = - 3 20 2 2 * 9,81 * t

t = 3,12   s  

Resposta

Letra a) 0,52   m ;

Letra b) 3,12   s .

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