Enunciado

Como está evidente nos dados de propriedades nas Tabelas A.3 e A.4, a condutividade térmica do vidro na temperatura ambiente é mais do que 50 vezes maior do que a do ar. Consequentemente, é desejável que se use janelas de vidro duplo, nas quais as duas lâminas de vidro delimitam um espaço de ar. Se a transferência de calor através do espaço de ar for por condução, a resistência térmica correspondente pode ser aumentada pelo aumento da espessura L do espaço. Entretanto, há limites para a eficácia desta proposta, pois correntes de convecção são induzidas se L for superior a um valor crítico, além do qual a resistência térmica diminui.

Considere ar atmosférico confinado por lâminas verticais nas temperaturas de T1 = 22°C e T2 = –20°C. Sendo o número de Rayleigh crítico para o início da convecção igual a RaL ≈ 2000, qual é o espaçamento máximo permitido para a condução através do ar? Como esse espaçamento é afetado pelas temperaturas das lâminas? Como ele é afetado pela pressão do ar, como, por exemplo, pela adoção de uma pressão inferior à atmosférica (vácuo) no espaço?

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Temos uma janela dupla de vidro com um espaço de ar entre as duas lâminas da janela a diferentes temperaturas, como mostra o esquema ilustrativo abaixo:

Para resolver essa questão, devemos calcular a espessura crítica L c para a qual o número de Rayleigh será R a L , c = 2000 , fazendo com que se inicie a convecção natural e haja mais um mecanismo de transferência de calor no processo.

O número de Rayleigh crítico para uma placa plana é:

R a L , c =   g β T 1 - T 2 L c ³ ν α

Sendo L c o comprimento crítico que queremos calcular, g = 9,81   m 2 / s a aceleração da gravidade, β o coeficiente de expansão térmica do ar, ν a viscosidade cinemática do ar e α a difusividade térmica do ar.

Pra resolver a questão vamo precisar buscar as propriedades do ar a 1 atm na Tabela A.4 (página 634) a uma temperatura média entre de T = T 1 + T 2 2 = 22   ° C - 20   ° C 2 = 1   ° C =   274   K :

k   = 0 , 0242 W m . K ν = 13 , 6 x 10 - 6   m ² s α = 19 , 1 x 10 - 6   m ² s β = 0 , 00365   K - 1

Pronto, agora podemos resolver a questão no próximo passo.

Passo 2

Pra finalizar a questão, vamos substituir as propriedades que buscamos na equação que eu te mostrei no passo anterior e calcular o espaçamento crítico entre as lâminas da janela:

L c = ν α g β T 1 - T 2 R a L , c 1 / 3 = 13 , 6 x 10 - 6   m ² s 19 , 1 x 10 - 6   m ² s 9,81 m 2 s 0 , 00365   K - 1 20   ° C - ( - 22 °   C ) 1 / 3  

→ L c = 0,007   m = 7   m m

Além disso, a questão pede que a gente avalie como esse espaçamento é afetado pelas temperaturas das lâminas e pela pressão do ar.

Bem, a diferença de temperaturas T 1 - T 2 está no denominar da equação que eu te mostrei nesse passo, fazendo com que L c aumente com a diminuição dessa diferença.

A viscosidade cinemática e a difusividade térmica podem ser calculadas a partir das seguintes equações:

ν =   μ ρ

α = k ρ c p

Como, para um gás ideal, ρ depende diretamente da pressão, ν e α diminuem com o aumento de pressão. Como essas duas propriedades estão no numerador da equação lá em cima, isso significa que L c também diminui com o aumento da pressão.

Pronto, matamos a questão junto ;)

Resposta

O espaçamento crítico entre as lâminas da janela é L c = 7   m m .

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