Enunciado

Uma janela vertical de painel duplo de 1,5   m de altura e 1,8   m de largura é composta de duas folhas de vidro separadas por um espaço de ar de 2   c m a pressão atmosférica. Se as temperaturas da superfície do vidro através da abertura de ar são medidas como 18 ℃ e 4 ℃ determine a taxa de transferência de calor através da janela por (a) convecção natural e (b) radiação. Além disso, determine o valor R de isolamento dessa janela de tal forma que, multiplicando-se o inverso do valor R pela área da superfície e a diferença de temperatura, obtenha-se a taxa total de transferência de calor pela janela. A emissividade efetiva para uso em cálculos de radiação entre duas grandes placas de vidro paralelas pode ser de 0,82 .

Passo 1

Dados fornecidos:

Altura da janela: H = 1,5   m

Largura da janela: W = 1,8   m

Área superficial da janela: A s = 1,5 × 1,8 = 2,7   m 2

Espaço de ar: L = 2   c m = 0 , 02   m

Temperaturas da superfície do vidro: T 1 = 18 ℃ = 291   K

Temperaturas da superfície do vidro: T 2 = 4 ℃ = 277   K

Emissividade efetiva: ε = 0,82 .

Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5,67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4

Premissas:

1) Existem condições operacionais estáveis.

2) O ar é um gás ideal com propriedades constantes.

3) A pressão do ar no gabinete é de 1 atm.

Passo 2

Primeiro, vamos começar calculando a temperatura média do ar entre os painéis. Assim temos:

T m é d i a = T 1 + T 2 2

Aqui,  T m é d i a é a temperatura média do ar,  T 1 é a temperatura da superfície interna do vidro e  T 2 é a temperatura da superfície interna do outro vidro. Substituindo os dados, temos:

T m é d i a = 18 ℃ + 4 ℃ 2 = 11 ℃

Passo 3

Com a temperatura média, podemos obter as propriedades do ar na temperatura média da  11 ℃ usando a tabela A-15 “Propriedades do ar à pressão de 1 atm” do livro didático usando o método de interpolação.

Condutividade térmica:

k = 0,02439 + 0,02476 - 0,02439 × 11 - 10 15 - 10 = 0,024562   W / m ⋅ K

Viscosidade cinemática:

ν = 1,426 × 10 - 5 + 1,470 × 10 - 5 - 1,426 × 10 - 5 × 11 - 10 15 - 10 = 1,4348 × 10 - 5   m 2 / s

Número Prandtl:

P r = 0,7336 + 0,7323 - 0,7336 × 11 - 10 15 - 10 = 0,73334

Passo 4

a) Vamos também calcular o coeficiente de expansão do volume usando a seguinte expressão:

β = 1 T f

Onde T f é a temperatura de filme que neste caso é mesma que a temperatura média. T f precisa estar em kelvin.

β = 1 11 + 273 K = 0,003521   K - 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o número de Rayleigh usando a seguinte relação:

R a L = g β T 1 - T 2 L c 3 ν 2 × P r

Aqui,  R a L é o número de Rayleigh, g  é a aceleração devido à gravidade, ν é a Viscosidade cinemática e L c é o comprimento característico. Substituindo os termos da equação pelos dados calculados anteriormente, temos:

R a L = 9,81   m / s 2 × 0,003521   K - 1 × 18 ℃ - 4 ℃ × 0,02   m   3 1,4348 × 10 - 5   m 2 / s 2 × 0,73334

R a L = 13767,28

Passo 6

Vamos também calcular o número de Nusselt usando a seguinte relação:

N u = 0,42   R a L 0,25 P r 0,012 H L - 0,3

Aqui, N u é o número de Nusselt,  H  é a altura da janela e  L  é o espessura do espaço de ar na janela. Substituindo os termos da equação pelos dados coletados, temos:

N u = 0,42 13767,28 0,25 0,73334 0,012 1,5   m 0 , 02   m - 0,3

N u = 1,2412

Passo 7

Agora, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u = h L k

h = N u k L

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor, k é a condutividade térmica. Substituindo os termos pelos dados encontrados, temos:

h = 1,2412 × 0,024562   W / m ⋅ K 0 , 02   m

h = 1,5242   W / m 2 ⋅ K

Passo 8

Com o coeficiente de transferência de calor encontrado, podemos calcular a taxa de transferência de calor por convecção. Assim temos:

Q ˙ c o n v = h A s T 1 - T 2

Aqui,  Q ˙ c o n v é a taxa de transferência de calor por convecção e A s é a área da superfície. Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

Q ˙ c o n v = 1,5242   W / m 2 ⋅ K × 2,7   m 2 × 18 ℃ - 4 ℃

Q ˙ c o n v = 57,617   W  

Portanto, a taxa de transferência de calor por convecção é  57,617   W .

Passo 9

b) Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor por radiação usando a seguinte relação:

Q ˙ r a d = ε A s σ T 1 4 - T 2 4

Aqui, Q ˙ r a d  é a taxa de transferência de calor por radiação,  ε a emissividade efetiva e  σ é a constante de Boltzmann. Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

Q ˙ r a d = 0,82 × 2,7   m 2 × 5,67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 × 291   K 4 - 277   K 4

Q ˙ r a d = 161,13   W

Portanto, a taxa de transferência de calor por radiação é  161,13   W .

Passo 10

Assim, podemos calcular a taxa total de transferência de calor da seguinte maneira:

Q ˙ t o t a l = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

Aqui,  Q ˙ t o t a l é a taxa total de transferência de calor. Assim temos:

Q ˙ t o t a l = 57,617   W   + 161,13   W

Q ˙ t o t a l = 218,74   W

Passo 11

Agora, podemos calcular a resistência à transferência de calor comparando a transferência de calor total à transferência de calor condutora.

Q ˙ t o t a l = k A s T 1 - T 2 L

Q ˙ t o t a l = A s T 1 - T 2 R

R = A s T 1 - T 2 Q ˙ t o t a l

Substituindo os termos da equação pelos dados encontrados, temos:

R = 2,7   m 2 × 18 ℃ - 4 ℃ 218,74   W

R = 0,1728   m 2 ⋅ K / W

Portanto, o valor  R  do isolamento da janela é 0,1728   m 2 ⋅ K / W .

Resposta

a) Q ˙ c o n v = 57,617   W  

b) R = 0,1728   m 2 ⋅ K / W

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