Enunciado

Explique sob quais condições a taxa de transferência de calor total em uma placa plana isotérmica com dimensões L × 2 L seria a mesma, independentemente do fato do escoamento paralelo sobre a placa ser direcionado ao longo do lado com comprimento L ou do lado com comprimento 2 L . Com um número de Reynolds crítico de 5 × 10 5 , para quais valores de R e L a taxa de transferência de calor total seria independente da orientação?

Passo 1

Fala galera!!

Podemos desenhar o seguinte esquema para transferência de calor na placa plana de dimensões L × 2 L .

Para resolver essa questão, é bom ter em mente que a área da placa plana em ambas as orientações é igual, dessa forma, se os coeficientes de convecção de ambas as orientações forem iguais

h - L = h - 2 L

a taxa total de transferência de calor será a mesma

q L = q 2 L

Aqui,  q L é a taxa de transferência de calor no escoamento em L q 2 L é a taxa de transferência de calor no escoamento em 2 L h - L é o coeficiente de convecção médio para o escoamento em L h - 2 L é o coeficiente de convecção médio para o escoamento em 2 L .

Passo 2

Temos dois casos possíveis nesse que podem acontecer. Caso (a): Existe fluxo laminar na placa mais curta, enquanto existem condições de fluxo mistas na placa mais longa. Caso (b): Existem condições mistas da camada limite em ambas as placas. É impossível satisfazer o requisito de que,  h - L = h - 2 L para o fluxo laminar sobre as duas placas.

Nos dois casos, é necessário que

h - L = h - 2 L

e

R e 2 L = 2 R e L

Passo 3

Caso (a)

Para a condição de fluxo laminar na placa onde o escoamento ocorre em L , podemos escrever a relação para o coeficiente médio de convecção da placa plana da seguinte maneira:

h - L = k L N u - L

h - L = k L 0,664   R e L 1 / 2 P r 1 / 3

h - L = 0,664 k L R e L 1 / 2 P r 1 / 3

Aqui,  R e L é o número de Reynolds para a chapa plana com escoamento em L P r é o número de Prandtl,  N u - L é o número médio de Nusselt para a chapa plana com escoamento em L k é a condutividade térmica do ar e  L é o comprimento da chapa plana.

Passo 4

Agora, vamos escrever a relação para o coeficiente médio de convecção da placa plana onde o escoamento ocorre em 2 L para a condição de fluxo misto.

h - 2 L = k 2 L N u - 2 L

h - 2 L = k 2 L 0,037   R e 2 L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

h - 2 L = k 2 L 0,037   R e 2 L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

Aqui,  R e 2 L é o número de Reynolds para a placa plana com escoamento em 2 L P r é o número de Prandtl,  N u - 2 L é o número médio de Nusselt para a placa plana com escoamento em 2 L k é a condutividade térmica do ar e  2 L comprimento da placa plana.

Passo 5

Agora, vamos igualar os dois coeficientes médio de convecção devido a nossa afirmação feita no passo 1. Assim temos:

h - L = h - 2 L

0,664 k L R e L 1 / 2 P r 1 / 3 = k 2 L 0,037   R e 2 L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

Agora, podemos substituir R e 2 L por 2 R e L na equação acima. Assim temos:

0,664 k L R e L 1 / 2 P r 1 / 3 = k 2 L 0,037   2 R e L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

0,664 R e L 1 / 2 = 1 2 0,037   2 R e L 4 / 5 - 871

1,334 R e L 1 / 2 = 0,037   2 R e L 4 / 5 - 871

0,037   2 R e L 4 / 5 - 871 - 1,334 R e L 1 / 2 = 0

0,0644   R e L 4 / 5 - 871 - 1,334 R e L 1 / 2 = 0

Como R e L < 5 × 10 5 e R e 2 L = 2   R e L > 5 × 10 5 , temos que R e L está no intervalo de

2,5 × 10 5 < R e L < 5 × 10 5

Usando o método iterativo de Newton-Raphson

x k + 1 = x k - f x k f ' x k

Onde posemos dizer que

f R e L = 0,0644   R e L 4 / 5 - 871 - 1,334 R e L 1 / 2

Aplicando o método iterativo com qualquer valor dentro do intervalo, vamos encontrar que:

R e L = 317255,36

R e L = 3,1725536 × 10 5

Portanto, a taxa de transferência de calor total será independente da orientação no caso a quando R e L = 3,1725536 × 10 5 .

Passo 6

Caso (b)

Para a condição da camada limite mistas na placa onde o escoamento ocorre em L , podemos escrever a relação para o coeficiente médio de convecção da placa plana da seguinte maneira:

h - L = k L N u - L

h - L = k L 0,037   R e L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

h - L = k L 0,037   R e L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

Aqui,  R e L é o número de Reynolds para a chapa plana com escoamento em L P r é o número de Prandtl,  N u - L é o número médio de Nusselt para a chapa plana com escoamento em L k é a condutividade térmica do ar e  L é o comprimento da chapa plana.

Passo 7

Agora, vamos escrever a relação para o coeficiente médio de convecção da placa plana onde o escoamento ocorre em 2 L para a condição de fluxo misto.

h - 2 L = k 2 L N u - 2 L

h - 2 L = k 2 L 0,037   R e 2 L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

h - 2 L = k 2 L 0,037   R e 2 L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

Aqui,  R e 2 L é o número de Reynolds para a placa plana com escoamento em 2 L P r é o número de Prandtl,  N u - 2 L é o número médio de Nusselt para a placa plana com escoamento em 2 L k é a condutividade térmica do ar e  2 L comprimento da placa plana.

Passo 8

Agora, vamos igualar os dois coeficientes médio de convecção devido a nossa afirmação feita no passo 1. Assim temos:

h - L = h - 2 L

k L 0,037   R e L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3 = k 2 L 0,037   R e 2 L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

Agora, podemos substituir R e 2 L por 2 R e L na equação acima. Assim temos:

k L 0,037   R e L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3 = k 2 L 0,037   2 R e L 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

0,037   R e L 4 / 5 - 871 = 1 2 0,037   2 R e L 4 / 5 - 871

0,00479   R e L 4 / 5 = 435,5

R e L 4 / 5 = 90925,62

R e L = 90925,62 5 / 4

R e L = 1578911,68

R e L = 1,57891168 × 10 6

Portanto, a taxa de transferência de calor total será independente da orientação no caso b quando R e L = 1,57891168 × 10 6 .

Resposta

R e L = 3,1725536 × 10 5

R e L = 1,57891168 × 10 6

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