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Explore a variação na velocidade de propagação de ondas dada pela equação do Problema 7.1 para um escoamento de água de superfície livre. Determine a profundidade de operação para minimizar a velocidade de ondas capilares (ondas de pequeno comprimento de onda, também chamadas de ondulações). Inicialmente, considere que o comprimento de onda é muito menor que a profundidade da água. Em seguida, explore o efeito da profundidade. Que profundidade você recomenda para uma mesa d’água de visualização do fenômeno de ondas em escoamento compressível? Qual é o efeito da redução da tensão superficial pela adição de um detergente?

Passo 1

Beleza, a primeira coisa que devemos fazer é pegar a equação apresentada no Problema 7.1, então, teremos:

c 2 = σ ρ . 2 π λ + g λ 2 π tanh ⁡ 2 π h λ

Então, nesse caso temos c como velocidade da onda, σ como tensão superficial, ρ como densidade do fluido, λ sendo o comprimento de onda, g a aceleração da gravidade e h a profundidade de operação.

Passo 2

Agora, analisando a equação apresentada no passo 1, temos que o termo:

σ ρ . 2 π λ

Leva em consideração a tensão superficial e nos fornece uma velocidade que é inversamente proporcional ao comprimento de onda e diretamente proporcional à tensão superficial, então, ele será relevante (grande) quando tivermos pequenos comprimentos de onda. Agora, já o segundo termo:

g λ 2 π

Por sua vez leva em consideração a gravidade e é diretamente proporcional ao comprimento de onda, de modo que ele só sera relevante para grandes comprimentos de onda. Agora, já a tangente hiperbólica:

tanh ⁡ 2 π h λ

É proporcional à profundidade e inversamente proporcional ao comprimento de onda. Então, para pequenos valores de comprimento de onda, o argumento da tangente hiperbólica tende ao infinito e a tangente hiperbólica em si tende a 1.

Passo 3

Então, ilustrando o comportamento da curva da equação do passo 1, com comportamento e características descritas no passo 2, temos:

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