Enunciado

Uma explosão ocorre na atmosfera quando um míssil antiaéreo se choca com seu alvo (Figura P 7 - 79 ). Uma onda de choque (também chamada de onda de explosão) se espalha radialmente a partir da explosão. A diferença de pressão através da onda de explosão ∆ P e sua distância radial r do centro são funções do tempo t , da velocidade do som c e da quantidade total de energia E liberada pela explosão.

(a) Gere relações adimensionais entre ∆ P e os outros parâmetros e entre r   e os outros parâmetros.

(b) Para determinada explosão, se o tempo t desde a explosão dobrar, com todas as outras condições iguais, por qual fator ∆ P diminuirá?

Passo 1

Vamos lá, para o item (a) o primeiro passo consiste em listar os parâmetros. Existem 4 parâmetros nesse problema, são eles:

∆ P = f ( c , t , E )

No segundo passo, temos as seguintes dimensões primárias dos parâmetros:

E = m 1 ∙ L 2 ∙ t - 2

t = t 1

∆ P = m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 2

c = L 1 t - 1

No terceiro passo, como primeira tentantiva tomamos j = 3 que corresponde a quantidade de dimensões primárias do problema ( m ,   L , t ) . Se este valor de j , estiver certo, o numero de Π ' s esperado é

k = n - j = 4 - 3 = 1

No quarto passo, nós precisamos escolher 3 parametros repetidos. Nesse caso temos todos os parâmetros como independentes.

E ,   c , t

No quinto passo, geramos o dependente Π :

Π 1 = ∆ P × t a × c b × E c           ∴         Π 2 = { m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 2 t 1 a L 1 t - 1 b m 1 ∙ L 2 ∙ t - 2 c }

Calculando os expoentes para cada dimensão:

Massa: m 0 = m ∙ m c               ∴             c = - 1

Tempo: t 0 = t - 2 ∙ t a ∙ t - 1 b ∙ t - 2 c             ∴                 0 = - 2 + a - b - 2 c       ∴           a = 3

Comprimento: L 0 = L - 1 ∙ L b ∙ L 2 c               ∴                   0 = - 1 - b + 2 c             ∴               b = 3

Substituindo no Π 1 :

Π 1 = ∆ P × t a × c b × E c   = ∆ P t 3 c 3 E

Como Π não é estabelecido, no sexto passo, deixamos assim e escrevemos como constante:

∆ P = c o n s t a n t e E t 3 c 3

Passo 2

Ainda no item (a) para relacionar o r   com os outros parâmetros, não temos muitos cálculos para fazer, uma vez que a distância é dada através de medições.

Relacionando com as variáveis repetidas, temos:

Π 1 = r c t

Como não temos outro Π , deixamos assim e escrevemos como constante:

r = c o n s t a n t e ∙ c t

Passo 3

Para o item (b), dobrando o tempo, usando a equação que encontramos, temos:

∆ P = c o n s t a n t e E 2 t 3 c 3

Ou seja, ∆ P diminuirá a um fator 2 3 = 8 .

Prontinho!!

Resposta

(a) ∆ P = c o n s t a n t e E t 3 c 3 e r = c o n s t a n t e ∙ c t ;

(b) 8 .

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