Enunciado

Expresse a equação do momento angular em regime não permanente na forma vetorial para um volume de controle que tem um momento constante de inércia I , nenhum torque aplicado, uma corrente de escoamento uniforme de saída com velocidade V → , e vazão em massa m ˙ .

Passo 1

O enunciado quer saber como chegamos na equação de momento angular H → em regime não permanente, de um volume de controle com momento de inércia I , sem torque aplicado ∑ M → = 0 , com velocidade uniforme de saída V → e vazão mássica m ˙ a partir da equação geral de momento angular (equação 6-50 do livro). Então, o primeiro passo dessa explicação deve ser mostrar a equação geral de momento angular.

∑ M → = d d t ∫ V C ρ ⋅ r → × V → ⋅ d V + ∑ s r → × m ˙ ⋅ V → - ∑ e r → × m ˙ ⋅ V →

onde:

  • ∑ M → é o somatório dos torques aplicados sobre o volume de controle;
  • ρ é a densidade do fluido;
  • r → é o braço do momento;
  • V → é a velocidade;

No próximo passo vamos deduzir quanto cada termo vale.

Passo 2

O termo d d t ∫ V C ρ ⋅ r → × V → ⋅ d V é a taxa de variação do momento angular do volume de controle d d t H → V C . No entanto, quando o momento de inércia I do volume de controle permanece constante, o primeiro termo da última equação toma-se simplesmente o momento de inércia I vezes a aceleração angular α → .

d d t H → V C = I α →

O termo ∑ s r → × m ˙ ⋅ V → é o momento angular do fluido saindo do volume de controle. Como só existe uma corrente de escoamento uniforme de saída, o momento angular total do fluido saindo do volume de controle vale:

∑ s r → × m ˙ ⋅ V → = r → × m ˙ ⋅ V →

O termo ∑ e r → × m ˙ ⋅ V → é o momento angular do fluido entrando no volume de controle. Como o enunciado só cita correntes saindo (e não entrando) do volume de controle, esse termo vale:

∑ e r → × m ˙ ⋅ V → = 0

Por fim, como o enunciado diz que não tem torque M → aplicado a esse volume de controle, o termo ∑ M → vale:

∑ M → = 0

Passo 3

Substituindo todos os dados na fórmula geral, encontramos a seguinte equação.

∑ M → = d d t ∫ V C ρ ⋅ r → × V → ⋅ d V + ∑ s r → × m ˙ ⋅ V → - ∑ e r → × m ˙ ⋅ V →

0 = I α → + r → × m ˙ ⋅ V → - 0

I α → = - r → × m ˙ ⋅ V →

Resposta

I α → = - r → × m ˙ ⋅ V →

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