Enunciado

Um ferro para ladrilhos é constituído por uma placa maciça mantida a 150°C por um aquecedor elétrico nela embutido. O ferro é colocado em contato com um ladrilho para amolecer o adesivo, permitindo que o ladrilho seja facilmente retirado do contrapiso. O adesivo irá amolecer o suficiente se for aquecido acima de 50 °C por pelo menos 2 min, porém sua temperatura não deve exceder 120 °C a fim de evitar a sua deterioração. Considere que o ladrilho e o contrapiso estejam a uma temperatura inicial de 25 °C e que as propriedades termofísicas de ambos sejam equivalentes e iguais a k = 0,15 W/(m · K) e ρ c p = 1,5.10 6   J / ( m 3 . K ) .

(a) Quanto tempo gastará um operário, usando um ferro para ladrilhos, para retirar um ladrilho? A temperatura do adesivo irá exceder o limite de 120 °C?

(b) Se o ferro para ladrilhos apresenta uma área superficial quadrada com 254 mm de lado, quanta energia foi removida dele durante o tempo necessário para retirar o ladrilho?

Passo 1

Beleza! Nesse exercício, vamos modelar o problema como sendo um sólido semi-infinito com temperatura interna uniforme.

T x , t - T s T i - T s = erf ⁡ η = erf ⁡ x 2 α t

Então, como estamos interessados em descobrir o tempo necessário para a temperatura atingir 50 °C a uma distância de 4 mm da superfície, temos:

T 0,004 ; , t = 50   ° C

x = 0,004   m

Substituindo os valores conhecidos na parcela esquerda da equação de cima, temos:

50 - 150 25 - 150 = erf ⁡ x 2 α t → erf ⁡ x 2 α t = 0,8

Agora, vamos calcular o valor de α com os valores fornecidos no enunciado, então, temos:

α = k ρ c = 0,15 1,5.10 6 → α = 1.10 - 7   m 2 / s

Substituindo os valores conhecidos na equação de cima, temos:

erf ⁡ 0,004 2 1.10 - 7 t = 0,8 → erf ⁡ 6,325 t - 1 2 = 0,8

Então, agora precisamos recorrer à tabela B.2 do apêndice B para encontrar o valor da função erro de Gauss, com isso, a nossa equação acima se torna:

6,235 t - 1 2 = 0,906 → t 1 2 = 6,235 0,906 → t = 47,4   s

Então, como o adesivo irá amolecer o suficiente se for aquecido acima de 50 °C por pelo menos 2 minutos, devemos somar esse tempo em relação ao tempo obtido acima, então, o tempo total será:

t t = t + 2 60 = 47,4 + 120 → t t = 167,4   s

Passo 2

Agora, ainda para a letra (a), para detemrinar se a temperatura do adesivo ira exceder o limite de 120 °C, nós iremos utilizar a mesma expressão do passo 1 para a distribuição de temperatura, só que agora com o tempo encontrado no passo 1, então, teremos:

T f - 150 25 - 150 = erf ⁡ 0,004 2 1.10 - 7 ( 167,4 ) → T f - 150 - 125 = erf ⁡ 0,488

Então, agora precisamos recorrer à tabela B.2 do apêndice B para encontrar o valor da função erro de Gauss, com isso, a nossa equação se torna:

T f - 150 - 125 = 0,5098 → T f = 86,3   ° C

Então, a temperatura não irá exceder o limite de 120 °C.

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós precisamos da equação para o fluxo de calor na superfície, dada por:

q s ' ' ( t ) = k T s - T i π α t 1 2

Só que estamos interessados na energia removida durante o tempo necessário para retirar o ladrilho, então, precisamos integrar essa expressão multiplicada pela área superficial, desse modo temos:

Q = ∫ 0 t t k T s - T i π α t 1 2 A s d t = k T s - T i A s π α 1 2 ∫ 0 t t t - 1 2 d t

Integrando essa expressão, temos:

Q = k T s - T i A s π α 1 2 2 t 1 2 0 t t

Substituindo os limites de integração, temos:

Q = 2 k T s - T i A s t t 1 2 π α 1 2

Agora podemos substituir os valores conhecidos para encontrar a energia removida:

Q = 2 0,15 150 - 25 0,254 2 167,4 1 2 π 1.10 - 7 1 2 → Q = 55847,2   J

Resposta

a :   t t = 167,4   s

b :   Q = 55847,2   J

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