Enunciado

Uma pavimentação de asfalto, em um dia quente de verão, pode atingir temperaturas tão elevadas quando 50°C. Suponha que tal temperatura esteja presente ao longo da espessura de um pavimento quando, de repente, uma tempestade reduz a temperatura de sua superfície para 20°C. Calcule a quantidade total de energia (J/m²) que sairá do asfalto durante um período de 30 min, no qual a superfície é mantida a 20°C.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício recorrendo à tabela A.3 do apêndice A para pegar as propriedades da pavimentação do asfalto a 20 °C = 293 K, então, aproximando para 300 K, temos:

ρ = 2115   k g / m 3

c = 920   J / k g . K

k = 0,062   W / m . K

Feito! Agora, sabendo que podemos tratar a superfície do asfalto como um sólido semi-infinito, então, a equação para o fluxo de calor na superfície pode ser dado pela equação 5.61, vista nesse capítulo, que é:

q s ' ' t = k T s - T i π α t 1 2

Como estamos interessados na energia em um determinado intervalo de tempo, então precisamos tomar a integral da expressão acima no tempo, de modo que teremos:

Q ' ' = ∫ 0 t q s ' ' ( t ) d t

Passo 2

Agora nós vamos substituir a expressão de q s ' ' encontrada na equação de Q ' ' , chegando em:

Q ' ' = ∫ 0 t k T s - T i π α t 1 2 d t = k T s - T i π α 1 2 ∫ 0 t t - 1 2 d t

Integrando essa expressão, chegamos em:

Q ' ' = k T s - T i π α 1 2 2 t 1 2 0 t

E, substituindo os limites de integração, temos:

Q ' ' = 2 k T s - T i t 1 2 π α 1 2

Passo 3

Agora nós vamos encontrar o valor de α com as propriedades descritas lá no passo 1, então, temos:

α = k ρ c = 0,062 2115 920 → α = 3,18.10 - 8   m 2 / s

Então, agora podemos substituir os valores conhecidos na equação para Q ' ' , chegando em:

Q ' ' = 2 k T s - T i t 1 2 π α 1 2 = 2 0,062 20 - 50 30 60 1 2 π 3,18.10 - 8 1 2 → Q ' ' = - 4,99.10 - 5   J / m 2

Como Q ' ' representa o calor que entra no asfalto, esse sinal negativo indica que o calor está saindo dele, o que era de se esperar, já que a temperatura interna é maior do que a da superfície.

Resposta

Q ' ' = - 4,99.10 - 5   J / m 2

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