Enunciado

Na figura, uma placa de espessura desprezível e área A 1 = 2   m 2 desloca-se com v = 5   m / s constante, na interface de dois fluidos, tracionada por uma força F = 400   N . Na parte superior, ε = 1   m m e o diagrama de velocidades é considerado linear. Na placa inferior, o diagrama é dado por v = a y 2 + b y + c . Pede-se:

  1. A tensão de cisalhamento na parte superior da placa em movimento;
  2. A tensão de cisalhamento na face inferior da mesma placa;
  3. A expressão do diagrama de velocidades v = f ( y ) no fluido superior;
  4. A expressão do diagrama de velocidades no fluido inferior v = f ( y ) ;
  5. A força R que mantém a placa da base em repouso.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A tensão de cisalhamenrto na parte superior é dada por:

τ 1 = μ 1 v ε 1

Substituindo os valores do enunciado, temos que:

τ 1 = 3 × 10 - 2 × 5 10 - 3

τ 1 = 150   N / m 2

Passo 2

Para calcularmos a tensão na parte inferior podemos utilizar a seguinte relação:

τ 2 = F 2 A 1

Temos então que encontrar F 2 , que pode ser descrita como:

F 2 = F - τ 1 A 1

F 2 = 400 - 150 2

F 2 = 100   N

Logo:

τ 2 = 100 2

τ 2 = 5 0   N / m 2

Passo 3

A expressão para a velocidade em função de y , por se tratar de um sistema linear, é dada por:

v = a y + b

Podemos substituir as condições iniciais para encontrarmos os coeficientes:

P a r a   y = 0 → v = 0

Logo:

0 = a 0 + b

b = 0

Temos também que:

P a r a   y = 10 - 3 → v = 5

Logo:

5 = a 10 - 3

a = 50000

Portanto:

v = 5000 y

Passo 4

Na região do fluido inferior o sistema se comporta como uma parábola, logo:

v = a y 2 + b y + c

Substituindo as condições iniciais, temos que:

P a r a   y = 0 → v = 0

Logo:

0 = a 0 2 + b 0 + c

c = 0

Temos também que:

P a r a   y = 0,5 → v = 5

Logo:

5 = a 0,5 2 + 0,5 b + 0

0,25 a + 0,5 b = 5

Outra relação que pode nos dar uma equação é a de que:

τ 2 = μ 2 d v d y

Como d v d y = 2 a y + b , temos que, no ponto y = 0,5 :

d v d y = τ 2 μ 2 = 2 a 0,5 + b

5 0 4 = a + b

a + b = 12 , 5

Logo:

a = 1 2 , 5 - b

Resolvendo o sistema por substituição, temos que:

0,25 1 2 , 5 - b + 0,5 b = 5

3 , 125 - 0,25 b + 0,5 b = 5

b = 7,5

Logo:

a = 12,5 - 7,5

a = 5

A velocidade na parte inferior da placa será dada pela equação:

v = 5 y 2 + 7,5 y

Passo 5

A força que mantem a base em repouso pode ser encontrada a partir da sua respectiva tensão de cisalhamento no ponto.

R = τ y = 0 × A

Temos que:

τ y = 0 = μ 2 d v d y y = 0

d v d y = 10 y + 7,5

d v d y y = 0 = 7,5

τ y = 0 = 4 7,5

τ y = 0 = 30   N / m 2

Logo:

R = 30 × 2

R = 60   N

Resposta

a )   τ 1 = 150   N / m 2

b )   τ 2 = 5 0   N / m 2

c )   v = 5000 y

d )   v = 5 y 2 + 7,5 y

e )   R = 60   N

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