Enunciado

Para fins de transferência de calor, um ovo pode ser considerado uma esfera de 6   c m de diâmetro com propriedades da água. Um ovo que está inicialmente a 8 ℃ é jogado na água fervendo a 100 ℃ . O coeficiente de transferência de calor na superfície do ovo é estimado em 800   W / m 2 ⋅ K . Considerando que o ovo está cozido quando sua temperatura no centro chega a 60 ℃ , determine por quanto tempo o ovo deve ser mantido na água fervente.

Passo 1

Dados fornecidos:

O diâmetro da esfera é D = 6   c m = 0,06   m .

Inicialmente a temperatura do ovo é T i = 8 ℃ .

A temperatura de ebulição da água é T ∞ = 100 ℃ .

A temperatura central do ovo é T t = 60 ℃ .

O coeficiente de transferência de calor é h = 800   W / m 2 ⋅ K .

Podemos encontrar em questões anteriores que:

Condutividade térmica do ovo é: k = 0,6   W / m ⋅ K

Difusividade térmica do ovo:   α = 0,14 × 10 - 6   m 2 / s

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número de Biot. Assim temos:

B i = h r o k

Substituindo os valores conhecidos, temos:

B i = 800   W / m 2 ⋅ K × 0,03   m 0,6   W / m ⋅ K

B i = 40

Como o número de Biot é maior que 0,1 , a análise do sistema aglomerado não é aplicável. Vamos então resolver o problema usando a solução de termo único. Com o numero de Biot encontrado, podemos obter os coeficientes λ 1 e A 1 correspondentes ao número de Biot  B i = 40 , na tabela 4-2.

Para este número Biot,

λ 1 = 3,0632

A 1 = 1,9942

Passo 3

Agora, podemos então usar a solução para condução transiente unidimensional em uma esfera de raio r o submetido à condução em todas as superfícies. Devido estamos interessado na temperatura no cento do ovo, podemos usar a seguinte equação:

T t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os valores fornecidos e encontrados nos passos anteriores, temos:

60 ℃ - 100 ℃ 8 ℃ - 100 ℃ = 1,9942 e - 3,0632 2 τ

0,43478 = 1,9942 e - 9,3832 τ

0,21802 = e - 9,3832 τ

ln ⁡ 0,21802 = ln ⁡ e - 9,3832 τ

ln ⁡ 0,21802 = - 9,3832 τ

τ = ln ⁡ 0,21802 - 9,3832

τ = 0,1623

Passo 4

Como o Fourier está um pouco abaixo do valor de 0,2 , portanto, a solução aproximada de termo único (ou os gráficos de temperatura transitória) ainda pode ser usada, com o entendimento de que o erro envolvido será um pouco mais de 2%. Assim, podemos determinar por quanto tempo o ovo deve ser mantido na água fervente usando a equação do número de Fourier:

τ = α t r o 2

Isolando t na equação.

t = τ r o 2 α

Substituindo os valores.

t = 0,1623 × 0,03   m 2 0,14 × 10 - 6   m 2 / s

t = 10 43,53   s

t = 1 7,39   m i n

Portanto, o tempo necessário que o ovo deve ser mantido na água fervente é  17,39   m i n .

Resposta

t = 17,39   m i n

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